喜六章二阶线性常微分方程的级数解法 第六章二阶线性常微分方程的幂级数解法 §6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点 二阶线性齐次常微分方程的标准形式 d2z +p(a)dz+()w=0, (6.1) p(2)和q(2)称为方程的系数 方程的解是完全由方程的系数决定的 特别是,方程解的解析性是完全由方程系数的解析性决定的 用级数解法解常嶶分方程时,得到的解总是某一指定点、∂的邻堿內收敛的无穷级数 方程糸数p(z),q(x)在如0点的解析性就决定了级数解在0点的解析性,或者说,就决定 了级数解的形式,例如,是 Taylor级数还是 Laurent级数 如果p(z),q(2)在0点解析,则20点称为方程的常点 如果p(z),q(2)中至少有一个在z0点不解析,则20点称为方程的奇点 例61超几何方程( Hypergeometric equation) (1-2),2+[-(1+a+)2] 的系数是 p(2)=2-(1 1+a+ 2(1-2) 和q(2)= 在有限远处,p(2)和q(2)有两个奇点:z=0和z=1.所以,除了z=0和z=1是超几何方程 的奇点外,有限远处的其他点都是方程的常点 例62 Legendre方程 dy 2x+l(1+1)y=0 在有限远处的奇点为x=±1 要判断无穷远点z=∞0是不是方程(6.1)的奇点,则必须作自变量的变换z=1/t d2÷qm 因此,方程(6.1)变为 如果t=0是方程(6.2)的常点(奇点),则称无穷远点z=∞0是方程(6.1)的常点(奇点)￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ ✒ 1 ✓ ✔✕✖ ✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪ §6.1 ✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✯✵✶✷✵ ✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, (6.1) p(z) ❈ q(z) ❉❊❋●❍■❏❑ • ❋●❍▲▼◆❖ P❋●❍■❏◗❘❍❑ • ❙❚▼❯❋●▲❍▲❱❲▼◆❖ P❋●■❏❍▲❱❲◗❘❍❑ ❳❨❩❬❭❬❪❫❴❵❛❜❯ ❝❞❡❬❢❣ ❤✐❥❦❧ z0 ❡♠♥ ♦♣q❡rs❨❩❑ ❵❛ t❩ p(z), q(z) ✉ z0 ❧❡❬✈✇①②❦ ③❨❩❬✉ z0 ❧❡❬✈✇❯ ④⑤⑥❯①②❦ ③❨❩❬❡⑦⑧❯⑨⑩❯❣ Taylor ❨❩❶❣ Laurent ❨❩❑ • ❷❸ p(z), q(z) ❹ z0 ❺▲❱❯❻ z0 ❺❉❊❋●❍❼❺❑ • ❷❸ p(z), q(z) ❽❾❿➀➁➂❹ z0 ❺➃▲❱❯❻ z0 ❺❉❊❋●❍➄❺❑ ➅ 6.1 ➆➇➈❋● (Hypergeometric equation) z(1 − z) d 2w dz 2 + γ − (1 + α + β)z dw dz − αβw = 0 ❍■❏▼ p(z) = γ − (1 + α + β)z z(1 − z) ❈ q(z) = − αβ z(1 − z) . ❹➀➉➊➋❯ p(z) ❈ q(z) ➀➌➂➄❺➍ z = 0 ❈ z = 1 ❑➎➏❯➐➑ z = 0 ❈ z = 1 ▼➆➇➈❋● ❍➄❺➒❯➀➉➊➋❍➓➔❺→▼❋●❍❼❺❑ ➅ 6.2 Legendre ❋● ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0, ❹➀➉➊➋❍➄❺❊ x = ±1 ❑ ➣↔↕➙➛➊❺ z = ∞ ▼➃▼❋● (6.1) ❍➄❺❯❻➜➝➞ ➟ ➠➡❍ ➠➢ z = 1/t ❑ dw dz = −t 2 dw dt , d 2w dz 2 = t 4 d 2w dt 2 + 2t 3 dw dt . ➤➥❯❋● (6.1) ➠ ❊ d 2w dt 2 +  2 t − 1 t 2 p  1 t  dw dt + 1 t 4 q  1 t  w = 0. (6.2) ❷❸ t = 0 ▼❋● (6.2) ❍❼❺ (➄❺) ❯❻❉➙➛➊❺ z = ∞ ▼❋● (6.1) ❍❼❺ (➄❺) ❑