证明:由f(O)=0及D(x)≤1,对于VE>0,为使 (x)-f(0)=|xD(x)sx|<E 只要取δ=E,即可按E-δ定义推得∫(x)在x=0连续。 4.左、右连续的定义 当遇到分段函数的分段点或区间的端点时,依定义1不能讨论f(x) 的连续性,为此我们在定义1的基础上,由f(x)在x0左、右极限的定义得 定义2:设f(x)在x。的某右邻域U4(x)(或左邻域U(x)内有定义,若 lim f(x)=f(xo) (o lim f(x)=f(xo)) x→>xd 则称函数∫(x)在xo点右连续(或左连续) 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4.1:∫(x)在xo点连续的充要条件为∫(x)在xo点既右连续又左连续。 由定理我们知道,要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论只要取 ＝ ，即可按 定义推得 在 连续。 证明：由 及 ，对于 ，为使 ( ) 0 ( ) (0) ( ) (0) 0 ( ) 1 0 − = − =   =    f x x f x f x D x x f D x       4．左、右连续的定义 当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论 f (x) 的连续性，为此我们在定义1的基础上，由 f (x) 在 x0 左、右极限的定义得 定义2：设 lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( ) ) ( ) ( )( ( )) 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x U x U x x x x x = = → + → − + − 或 在 的某右邻域 或左邻域 内有定义，若 则称函数 f (x) 在 x0 点右连续（或左连续）。 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4．1： f (x) 在 x0 点连续的充要条件为： f (x) 在 x0 点既右连续又左连续。 由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论