第五章向量场的微积分 x= aCost 对于L:{y=aSm,tEp2r]A=A()L-,B=B() 二=ct/2丌 ∫F:d=jx()x(+()y()+z()()t r-a' cost acost+acost+ ct-c ldr = (c oSt +sn t)+ 例2:计算第二型曲线积分 ∫(x2-2x)k+( 其中L为xy平面上以点(-1,1),(1,-1)和 (1,1)为顶点的三角形周边,逆时针方向为正 Lt 解:如图所示,将L分成L1,L2,LA L (x -2xy)dx+("-2xy)dy 2 xy L x=t 从t=-1到t=1,则 ∫(x2-2xy)k+(2-2xy)h=j(r2-y2)=0 L 2 y 因此 J(x-2xy)dx(y-2xy)dy=(x'-2xy)dx+(2-2xy)dy=0 L1+l2+l3 例3:假定在R中每点(x,y,2)的电场强度为 E(x,y,=)=(y-2) )j+(x2-y2)k 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 10 对于 L1 :     , 0,2 2       = = = t z ct y aSint x aCost , ( ) ( ) 0 2 | , | = t= = t= A A t B B t ( ) Y(t)y t Z(t)z t dt L F dl [X t x (t) ( ) ( )] 2 2 0  =  +  +       =              − − + + +    2 0 2 2 2 2 sin cos cos cos dt ct c a t a t a t a t = 2 . 2 ] 4 (cos sin ) 2 [ 2 2 2 2 2 0 2 a c dt c t t t ac a     − + + + = −  例 2:计算第二型曲线积分 ( 2 ) ( 2 ) . 2 2 x xy dx y xy dy L  − + − 其中 L 为 xy 平面上以点(-1,1), (1,-1)和 (1,1)为顶点的三角形周边,逆时针方向为正. 解:如图所示,将 L 分成 L1 , L2 , L3 . L1 :    = = y y x 1 ,   − − + − = − = L x x y dx y x y dy y x y dy 1 1 1 2 2 2 . 3 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) L2 :    = − = y t x t , 从 t = −1 到 t =1, 则 ( 2 ) ( 2 ) (3 3 ) 0. 1 1 2 2 2 2 2 − + − = − =   − x x y dx y x y dy t t dt L L3 :    = = y 1 x x , . 3 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 1 1 2 2 2 − + − = − = −   − L x x y dx y x y dy x x dx 因此 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 1 2 3 2 2 2 2 − + − = − + − =   L L +L +L x x y dx y x y dy x x y dx y x y dy . 例 3:假定在 3 R 中每点 (x, y,z) 的电场强度为 ( , , ) ( ) ) ( ) . 2 2 2 2 2 2 E x y z y z i z x j x y k     = − + − + − y L3 1 L2 L1 -1 1 x