第五章向量场的微积分 显然,质点沿有向曲线L运动时,力场F所作的功就是F在L上 的积分 注意:(1)被积函数F取值在曲线L上 (2)dx,d,d是有向弧微分dl分别在坐标轴上的三个投 影,它们是可正可负的; (3)第二型积分通常都是这种组合积分形式出现 (三)性质 存在性 可加性 第二型曲线积分的有向性,若一L是方向与L相反的有向曲 线,则由定义可知:F:d=-Fd 这是因为的单位切向量与L的单位切向量方向相反 2-2第二型曲线积分的计算 x=x( dx(x'(di 若曲线L A=(x(n)y(t)-(t) 1B=(x()y)=() dl=dy=y( d 「F(xy)-x()()+ +Y(x()y(x()b+z(x()y()() 例1:计算曲线积分∫Fd,F其中 F(x,y, =)=yi-xj+(x+y+=k L是由A(a,0,0)到B(a,0,c)的线段; L是空间螺线{y=aSmt,0≤t≤2n;它的起终点也是A和B =c/2z 解:对于L:{y()=0,A=A(0儿-0,B=B()L 「Fd=+y+zM=a+aM=+2 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 9 显然，质点沿有向曲线 L 运动时, 力场 F  所作的功就是 F  在 L 上 的积分. 注意：(1) 被积函数 F  取值在曲线 L 上； (2) dx,dy,dz 是有向弧微分 dl  分别在坐标轴上的三个投 影，它们是可正可负的； (3) 第二型积分通常都是这种组合积分形式出现。 (三) 性质: ⚫ 存在性 ⚫ 可加性 ⚫ 第二型曲线积分的有向性, 若 − L 是方向与 L 相反的有向曲 线，则由定义可知：    = −  −L L F dl F dl     . 这是因为的单位切向量与 L 的单位切向量方向相反. 2-2 第二型曲线积分的计算 若曲线 ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t L : , ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ))    = = b b b a a a B x t y t z t A x t y t z t , , , , , ( ) ( ) ( )              =           = z t dt y t dt x t dt dz dy dx dl  ( )   L F x y z dl   , , = ( ( ) ( ) ( ))  + b a t t X x t , y t ,z t dx +Y(x(t), y(t),z(t))dy + Z(x(t), y(t),z(t))dz 例 1:计算曲线积分     1 2 , L L F dl F dl     . 其中 F(x y z) yi xj x y z k     , , = − + ( + + ) . L1 是由 A(a,0,0) 到 B(a,0,c) 的线段; L2 是空间螺线   , 0 2 2        = = = t z ct y aSin t x aCost ;它的起终点也是 A 和 B. 解: 对于 L1 : ( ) ( ) ( )      = = = z t ct y t x t a 0 , ( ) ( ) 0 1 | , | = t= = t= A A t B B t . 2 1 ( ) ( ) 2 1 0 1 0 1 dt a ct dt ac c L F dl Xx Yy Zz     =  +  +  = + = +  