第五章向量场的微积分 同样,对于空间曲线弧微分向量 d=dITo=d dy=y(dr d 以上表明:参数t增长的方面决定了曲线方向因此为讨论方便,取曲线 的参数方程时,最好使参数增长方向与正好是你希望的曲线方向. 背景: 例力场:F(x,y,=)=X(x,y,=)+Y(x,y,z)j+Z(x,y片k 中单位质量沿有向光滑曲线L,自点A至B.求力F所作的功 在P(x,y,=),质点沿小段曲线M前 进时,力F所作功 B △w≈F·M=XAx+YAy+ZAz 于是质点从A至B,力F所作的功等于 W=m∑F(P)△(P) =分((P)x1+Y(P)y+Z(P) 「F(P)d-「k+b+2t 有此背景,很自然地引入第二型曲线积分的概念 X(x,y,=) 定义:设F:cR3→R3,且F(xy=)=Y(xy,=),L是 z(x,y,=) 2内一条有向光滑曲线首先任分L为n小段,第p段有向弧记 作 =(△x.△y )再在A上任取 P(x。yn2,zn),若积分和式的极限 ln∑F(P)△=lm∑x(Pkxn+y(Pyn+2(p 存在,则称之为F沿有向曲线L的第二型(对坐标的)曲线积分,记成 如∑和()MF)团=+动+ 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 8 同样，对于空间曲线弧微分向量: ( ) ( ) ( ) dt z t y t x t dz dy dx dl dl dl              =           =  0 =   以上表明：参数 t 增长的方面决定了曲线方向.因此为讨论方便,取曲线 的参数方程时, 最好使参数增长方向与正好是你希望的曲线方向. ⚫ 背景： 例 力场: F(x, y,z) = X (x, y,z)i + Y(x, y,z) j + Z(x, y,z)k  中单位质量沿有向光滑曲线 L , 自点 A 至 B. 求力 F 所作的功. 在 P(x, y,z) , 质点沿小段曲线 l 前 进时, 力 F  所作功 w  F  l = Xx + Yy + Zz   于是质点从 A 至 B, 力 F 所作的功等于  ( ) = → =   n i i Pi W F P l 1 0 lim ( )    = = →  +  +  n i i i i i i i X P x Y P y Z P z 1 0 lim ( ) ( ) ( )  = ( )    = + + L L F P dl Xdx Ydy Zdz  ; 有此背景, 很自然地引入第二型曲线积分的概念. ⚫ 定义:设 3 3 F :  R → R  ,且           = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) Z x y z Y x y z X x y z F x y z  , L 是  内一条有向光滑曲线. 首先任分 L 为 n 小段，第 p 段有向弧记 作 : ( ) T p p p p l = x y z  再 在 l   上 任 取 一 点 ( ) p p p p P x ,y ,z , 若积分和式的极限:  ( )  ( ) ( ) ( ) = → = →  =  +  +  n p p p p p p p p n p p F P l X P x Y P y Z P z 1 0 1 0 lim lim     存在，则称之为 F  沿有向曲线 L 的第二型(对坐标的)曲线积分，记成 ( ) ( )     =  = + + = → L L p n p F Pp l F x y z dl Xdx Ydy Zdz     lim , , 1  0 B L A