第五章向量场的微积分 5-1-2第二型曲线积分的概念与计算 2-1定义 ()引言:从数学上看,物理学中的场( field),就是定义在三维空 间和时间上的多元数量和向量函数 ∫:Ω→>R(稳态数量场),F:Ω→>R″(稳态向量场); 或f:g×T→R(动态数量场),F:Ω×T→>Rm(动态数量场) 其中,Ω是某空间域,T时间域 例如静电荷产生的静电场,运动电荷产生的磁场,引力场以及热 源产生的温度场等。这里就涉及到作功,能量,流量,源,通量,场 强等许多物理或力学量以及它们之间的关系,这些正是本章的实际背 (二)定义 有向曲线,与弧微分向量 设L是连续曲线,规定起点A,终点B, 称为一条有向曲线( oriented curve),通 常,平面曲线用: y=y1)或() x() 空间曲线用 L:{y=y0),或严(0)=y()表示 =( 这里,x=x()2y=y(1),==(1),(a≤t≤B是三个连续可微函数, 并且满足条件:x()2+y()2+z(1)2>0 这样的曲线称为光滑曲线( smooth curve) 对于这种曲线相应的弧微分向量为: 平面曲线弧微分向量定义为:dl=dlv0, 其中,dl是曲线在一点的弧微分;是其单位切向量 d xi td 由于:to= 所以有 (dx)+(dy d=d=(4)=(x(0) 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 7 5-1-2 第二型曲线积分的概念与计算 2-1 定义 (一) 引言: 从数学上看, 物理学中的场(field), 就是定义在三维空 间和时间上的多元数量和向量函数: f :  → R (稳态数量场), m F :  → R (稳态向量场); 或 f : T → R (动态数量场), m F : T → R (动态数量场). 其中，  是某空间域, T 时间域 例如静 电荷产生的静电场，运动电荷产生的磁场，引力场以及热 源产生的温度场等。这里就涉及到作功，能量，流量，源，通量，场 强等许多物理或力学量以及它们之间的关系，这些正是本章的实际背 景。 (二) 定义 ⚫ 有向曲线, 与弧微分向量 设 L 是连续曲线, 规定起点 A, 终点 B, 称为一条有向曲线(oriented curve), 通 常,平面曲线用: ( )  ( )   = = y y t x x t L : , 或 ( ) ( ) ( )         = y t x t r t  表示; 空间曲线用 ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t L : , 或 ( ) ( ) ( ) ( )           = z t y t x t r t  表示. 这里， x = x(t), y = y(t),z = z(t),(  t ) 是三个连续可微函数, 并且满足条件: ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 x  t +y  t +z  t  . 这样的曲线称为光滑曲线(smooth curve). 对于这种曲线相应的弧微分向量为： 平面曲线弧微分向量定义为: 0    dl = dl , 其中, dl 是曲线在一点的弧微分； 0   是其单位切向量. 由于： ( ) ( ) 2 2 0 dx dy dxi dy j + + = =         , 所以有： ( ) ( ) dt y t x t dy dx dl dl           =        =  0 =   B L A