第五章向量场的微积分 =141+4 1-81 (1+4t)d- √+4 1+4n)52 5√51 (1+4t) √5 故xyl= x=rcos ot 例3计算螺线一段弧AB:{x= rsin ot,t∈p2](其,为 常数)绕z轴旋转的转动惯量(假定螺线质量均匀分布,线密度p=1) J=n(x2+y2Ml,其中,x2+y2=r2 dl=v(dx)+(dy)+(d)2=vr202+r2dt J2=[r2Vr2o2+v2=2m2Vr2o32+ 例4已知半圆圈C:x2+y2=r2,y≥0的质量分布不均匀 其线密度px,y)=x2+y,试求其重心(x,y) 解将C的方程表示为参数方程{=800Eb C的质量M为M=∫(x2+yM=(2cos2+ rino)rde 2 (丌r+4) 由对称性可知,叉=0,再由半圆圈C关于x轴的静力矩 f pla, y)dl- ]year'+y)al ucos Osin @+sin'e)de 即得=M2=3x+4 4 第五章向量场的微积分 6第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 6 ; 120 1 24 5 5 (1 4 ) 48 1 (1 4 ) 80 1 1 4 8 1 (1 4 ) 8 1 4 1 4 8 1 1 0 1 3/ 2 0 5 2 1 0 3/ 2 1 0 1 0 = + − + = + = + − + = +    t t t dt tdt t tdt 故 120 61 24 5 5 = +  C xydl . 例 3 计算螺线一段弧  AB :      = = = z vt x r t x r t   sin cos , t 0,2 (其中 r, v, 为 常数) 绕 z 轴旋转的转动惯量 (假定螺线质量均匀分布，线密度＝1)。 解 J x y dl AB z  =  ( + ) 2 2 ，其中, 2 2 2 x + y = r dl dx dy dz r v dt 2 2 2 2 2 2 = ( ) + ( ) + ( ) =  + . 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 J r r v dt 2 r r v z = + = +      . 例 4 已知半圆圈 C： 2 2 2 x + y = r , y  0 的质量分布不均匀， 其线密度 (x y) = x + y 2  , ，试求其重心 (x, y)。 解 将 C 的方程表示为参数方程       0, sin , cos ,     = = y R x R , C 的质量 M 为 ( ) ( cos sin ) 0 2 2 2   = + = +  M x y dl r  r  rd C ( r + 4) 2 r 2 = 2 2 1 = r r 2 2 2            + 由对称性可知， x =0，再由半圆圈 C 关于 x 轴的静力矩： (3 4 ), 2 2 6 1 cos 2 3 = r ( , ) ( ) ( cos sin sin ) 3 0 3 3 2 2 0 2 3 r r r M y x y dl y x y dl r r d C C x = +       − +   = = + +              即得 r + 4 3 + 4r 3  r  M M y x = =