第五章向量场的微积分 Js(x, y)d=r(r(, y(VIr(+[x(vdr 例一,计算∫yld,其中C是单位圆的右半圆周,即 x2+y2=R2,(x≥0)。 解由曲线C的方程x2+y2=R2,得 y d=√+bp(x)r 于是[yd=「yld+「ydn R dx+lly -dx=2R 另一种解法:半圆周C的参数方程为 ∫x=Rcos y = Rsin e 于是d=V(Rsn0)+(Rcos2dO=Rd yd=CKmk⊥,2R(-m02M+,F如m COs 2R 例2计算「xyul,其中C是封闭路径OABO B xydl=xyd +xydl+xydl 其中xyzl=|0·ydl=0 xy ydy 此时dl=dy); X=x x.x v1+(2x)dx (C 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 5 f x y dl f x t y t x y yx y dt C 2 2 ( , ) = ( ( ), ( )) [ ( )] +[ ( )]     例一，计算  C | y | dl ，其中 C 是单位圆的右半圆周，即 x y R 2 2 2 + = , (x  0)。 解 由曲线 C 的方程 x y R 2 2 2 + = , 得 y x = − x y ，故   dx y R dx y x y dl y x dx | | 1 ( ) 2 2 2 2 = + = +  = , 于是      = + B A C B A y dl y dl y dl 1 2 | | | | | | dx = 2R | y | R dx + | y | | y | R = | y | R 0 2 R 0  另一种解法：半圆周 C 的参数方程为           = = 2 , 2 - sin , cos ,      y R x R ， 于是 dl = (R  ) + R  d = Rd 2 2 sin ( cos ) 2 / 2 0 0 2 / 2 2 0 / 2 0 / 2 2 2 / 2 / 2 cos cos 2 | | sin ( sin ) sin R R R y dl R Rd R d R d C = − = = = − + −  − − −               例 2 计算  C xydl ，其中 C 是封闭路径 OABO。 解     = + + C OA AB BO xydl xydl xydl xydl  ， 其中 0 0;   =  = OA OA xydl y dl 2 1 1 1 0 =  =   xydl ydy AB (此时 dl = dy )； xydl x x x dx BO 2 1 0 2 =  1+ (2 )    ( C :    = = 2 y x x x ) y B y=x2 0 A x