第五章向量场的微积分 空间曲线积分的几何意义:当上式中的(x,y2)=1时,j1d表示 曲线C的长度。 平面曲线∫f(xy)的几何意义:表示由曲线C形成的柱面之面积 第一类曲线积分也有与定积分类似的性质,我们不再一一列出,这里 只指出与路径有关的两条性质 (1)函数f(x,y,)在曲线AB和BA上的第一类曲线积分相等,即 「a/(x,y)-J/(xy)d 此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2)如果曲线C由曲线C1与C2组成,则 J(x,y, =)d=/(x, y, =)d/+ /(x,y,=)dI 这些性质对第一类平面曲线积分也都成立 2)第一类曲线积分的计算及其应用 x(1) 设曲线C(即AB)的参数方程为{y=uO)t∈ 二=z() 又设函数∫(x,y)在曲线C上连续,根据曲线C的弧长l的微分 d=√x(n)2+[y()2+z()2 再根据∫(x,y,z)在曲线C上的第一类曲线积分的定义,即得 JAex, ys 2dl = 对于第一类平面曲线积分,如果积分路径C以参数方程给出,也有与 空间曲线积分类似的结果;如果积分路径C的方程为y=y(x) x∈gb则函数f(x,y)在曲线C上的第一类曲线积分可化为下面的定 积分,即Jf(xy)=./(xy(x)+b(x)h 如果曲线C的方程为参数方程 t∈,B≥a,则 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 4 空间曲线积分的几何意义：当上式中的 f (x, y,z) =1 时，   C 1 dl 表示 曲线 C 的长度。 平面曲线  C f (x, y)dl 的几何意义：表示由曲线 C 形成的柱面之面积。 第一类曲线积分也有与定积分类似的性质，我们不再一一列出，这里 只指出与路径有关的两条性质。 (1) 函数 f (x, y,z) 在曲线  AB 和  BA 上的第一类曲线积分相等，即    =  AB BA f (x, y,z)dl f (x, y,z)dl 此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2) 如果曲线 C 由曲线 C1 与 C2 组成，则    = + 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) C C C f x y z dl f x y z dl f x y z dl 这些性质对第一类平面曲线积分也都成立。 2) 第一类曲线积分的计算及其应用 设曲线 C(即  AB )的参数方程为        = =  = ( ), ( ), t , ( ), z z t y y t x x t   又设函数 f (x, y,z) 在曲线 C 上连续，根据曲线 C 的弧长 l 的微分 dl x t y t z t dt 2 2 2 = [ ( )] +[ ( )] +[ ( )] ， 再根据 f (x, y,z) 在曲线 C 上的第一类曲线积分的定义，即得 f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt C 2 2 2 ( , , ) = ( ( ), ( ), ( )) [ ( )] +[ ( )] +[ ( )]     对于第一类平面曲线积分，如果积分路径 C 以参数方程给出，也有与 空间曲线积分类似的结果；如果积分路径 C 的方程为 y = y(x) , xa,b ，则函数 f (x, y) 在曲线 C 上的第一类曲线积分可化为下面的定 积分，即 f x y dl f x y x y x dx a b C 2 ( , ) = ( , ( )) 1+[ ( )]   如果曲线 C 的方程为参数方程 ( ) ( )         = = ,t , , y y t x x t , 则