第五章向量场的微积分 上第一类曲线积分,记作(x,yM或j(x,y:,即 ∫f(x,yM=m∑/(5,n,)AM 其中曲线C(即AB)称为积分路径,∫称为被积函数,f(xy,z称 为被积分式,d≥0称为曲线元素(或弧微分)。 如果C是R2中的一条平面曲线,f(x,y)是定义在C上的二元函数, 同样可以定义二元函数f(xy)在平面曲线C上的第一类曲线积分为 ∫f(x,y)l=lm∑/(5,m,5,)A 1-2第一型曲线积分的性质 ·存在性:上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数∫在曲 线C上分段连续 可加性 估值定理与中值定理 1-3第一型曲线积分的应用 几何上的应用:柱面面积。 物理方面的应用 如重心: 我们根据第一类曲线积分的概念,也容易写出空间曲线C关于三个坐标平 面的静力矩: M=xp(x, y, z)di Mar=yp(x,y, =)dl, M,==p(x,y, =)dl, 于是空间曲线C的重心(或质心)的坐标(x,y,为 我们也易得曲线C绕z轴转动的轴动惯量 J2=∫(x2+y)(xy 读者也不难写出曲线C绕x,y轴转动的转动惯量 第五章向量场的微积分第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 3 上第一类曲线积分，记作  C f (x, y,z)dl 或  AB f x y z dl   ( , , ) ，即  = → =  n i i i i C d f x y z dl f 1 i 0 ( , , ) lim ( , , ) l . 其中曲线 C(即  AB )称为积分路径， f 称为被积函数， f (x, y,z)dl 称 为被积分式， dl  0 称为曲线元素(或弧微分)。 如果 C 是 2 R 中的一条平面曲线， f (x, y) 是定义在 C 上的二元函数， 同样可以定义二元函数 f (x, y) 在平面曲线 C 上的第一类曲线积分为  = → =  n i i i i C d f x y dl f 1 i 0 ( , ) lim ( , , ) l . 1-2 第一型曲线积分的性质 ⚫ 存在性：上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数 f 在曲 线 C 上分段连续。 ⚫ 可加性： ⚫ 估值定理与中值定理 1-3 第一型曲线积分的应用 ⚫ 几何上的应用：柱面面积。 ⚫ 物理方面的应用 如重心: 我们根据第一类曲线积分的概念，也容易写出空间曲线 C 关于三个坐标平 面的静力矩：    = = = C xy C zx C yz M z x y z dl M y x y z dl M x x y z dl ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ,    于是空间曲线 C 的重心（或质心）的坐标 (x, y,z) 为 M M z M M y M M x yz zx xy = , = , = . 我们也易得曲线 C 绕 z 轴转动的轴动惯量  = + C J z (x y ) (x, y,z)dl 2 2  ， 读者也不难写出曲线 C 绕 x, y 轴转动的转动惯量