第五章向量场的微积分 5-1-1第一型曲线积分的概念与计算 1)第一型曲线积分的概念 1-1定义:先看一个实例,然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。 例设有一个曲线(AB)状的物体。如果它的质量分布不均匀,其线密 度为p(xy,=),如何求它的总质量呢? 线状物体的质量对线段是可加的。因此,我们把曲线C(即AB)分 成n个小弧段,分点为=A,B1,…P,…P=B。每一个子弧段 P1P(其长度记作AMl1,i=1,2,…,n)的线密度可以近似看作不变的 常数,它近似等于弧段PP上任一点Q(5,n,5)处的线密度 p(F,n,s),于是子弧段P1P的质量△M可以近似地表示为: △M1≈D(1,n,M(i=1,2,…,m), 整条线状物体的质量为M≈∑(5,m,)△l 显然,当d=Max{△l}→0时,上述和式的极限值就是所求的M,即 M= m∑,n1) 上式中的和式极限叫做函数p(x,y,)在曲线C(即AB)上的第一类 曲线积分。下面给出一般的定义 定义:设R3中的一条曲线AB(记作C)是逐段光滑的,函数f(x,y,z) 定义在曲线C上,把C任意地分成n个子弧段P1P (B0=A,B,…P,…,Pn=B),其长度记为△l1,并在P1P上任取 点Q、5F,2,5),作黎曼和:∑f(5,n,5)△N1,再记d=Mmx{△} 如果d→0,和式的极限存在,则称其极限值为函数f(xy,=)在曲线C 第五章向量场的微积分 2第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 2 5-1-1 第一型曲线积分的概念与计算 1) 第一型曲线积分的概念 1-1 定义: 先看一个实例，然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。 例 设有一个曲线(  AB )状的物体。 如果它的质量分布不均匀，其线密 度为 (x, y,z) ，如何求它的总质量呢？ 线状物体的质量对线段是可加的。因此，我们把曲线 C （即  AB ）分 成 n 个小弧段，分点为 P0 = A, P1 ,  ,Pi ,  ,Pn = B 。每一个子弧段  Pi−1Pi (其长度记作 i l , i =1, 2, …, n)的线密度可以近似看作不变的 常数，它近似等于弧段  Pi−1Pi 上任一点 ( ) Qi i i i  , , 处的线密度 ( ) i i i   , , ，于是子弧段  Pi−1Pi 的质量Mi 可以近似地表示为： ( , , ) (i =1, 2, , n) i i i i i M      l ， 整条线状物体的质量为 =   n i M i i i 1 i ( , , ) l . 显然，当   0 1 =  →   i i d Max l 时，上述和式的极限值就是所求的 M，即 = → =  n i i i i d M 1 i 0 lim ( , , ) l 上式中的和式极限叫做函数 (x, y,z) 在曲线 C(即  AB )上的第一类 曲线积分。下面给出一般的定义。 定义: 设 3 R 中的一条曲线  AB (记作 C)是逐段光滑的，函数 f (x, y, z) 定义在曲线 C 上 ， 把 C 任 意 地 分 成 n 个 子 弧 段  Pi−1Pi ( P0 = A, P1 ,  ,Pi ,  ,Pn = B )，其长度记为 i l ，并在  Pi−1Pi 上任取一 点 ( ) Qi i i i  , , ，作黎曼和： =  n i i i i f 1 i ( , , ) l , 再记  i i d = Max l 1  ， 如果 d →0 ，和式的极限存在，则称其极限值为函数 f (x, y,z) 在曲线 C