Example2整数系(E,+,-*) Example3有理数系 Q={D/q|p,q∈正整数,q≠0} 有理数的稠密性Va,b∈Q,a<b→c∈Q,a<c<b Ihl不存在有理数p/q使得(p/q)2=2 把直线分割成两部分,必有唯一的分点。 Def1,S有大小顺序分成A,B两类 (i)不空;A与B都至少包含S中的一个数 (i)不漏;S中的每个数,S=A∪B (i)不乱;Va∈A,Vb∈,必有a<b AB为取的S的一个分划,记为AB A称为分划的下类,B称为分划的上类 如∈Qa≤引,B=師∈Qb>引 戴德金连续准则如果有大小顺序稠密的数系S,对它的每一个分划,都有S中唯一的 数存在,它不小于下类中的每一个数,也不大于上类中的每一个数,那么数系S连续的 A={∈Qa≤0或a>0且a2<2,B=beQb>0且b2>2 第二次课 实数基本定理:对R的每一个分划,必有唯一的实数,它大于或等于下类A中的每 个实数,小于或等于上类B中的每一个实数。 证明:往证存在唯一的实数r∈R,使得对任意a∈A有a≤r,对任意b∈B有 r≤b 1.先确定r,先看整数,由A非空知,有整数属于A,若对任意整数co∈A且同时 有co+l∈A→B是空集,矛盾。所以我们知必有整数c0,使得c0∈A,而co+l∈B 其次考虑 这时必存在c1是0,1,,9中的某数,使得co.c∈A,co、(c1+1)∈B(若C1=9,则 如此继续下去,在确定了Cn,即 CC0Example2 整数系 (E,+,−, ) Example3 有理数系 Q ={p / q | p,q正整数，q  0} 有理数的稠密性 a,b Q,a  b  c Q,a  c  b Th1 不存在有理数 p / q 使得 ( / ) 2 2 p q = 把直线分割成两部分，必有唯一的分点。 Def 1, S 有大小顺序分成 A, B 两类 (i) 不空；A 与 B 都至少包含 S 中的一个数 (ii) 不漏；S 中的每个数, S=A  B (iii) 不乱；  a  A,  b ,必有 a  b A,B 为取的 S 的一个分划，记为 A|B A 称为分划的下类，B 称为分划的上类. Ex. S = Q  97 A = a aQ,a  ，  97 B = bbQ,b  戴德金连续准则 如果有大小顺序稠密的数系 S, 对它的每一个分划，都有 S 中唯一的 数存在，它不小于下类中的每一个数，也不大于上类中的每一个数，那么数系 S 连续的  , 0 0 2 2 A = a a Q a  或a  且a  ,  , 0 2 2 B = b b Q b  且b  第二次课 实数基本定理：对 R 的每一个分划，必有唯一的实数，它大于或等于下类 A 中的每一 个实数，小于或等于上类 B 中的每一个实数。 证明：往证 存在唯一的实数 r  R ，使得对任意 a A 有 a  r ，对任意 bB 有 r  b . 1.先确定 r ，先看整数，由 A 非空知，有整数属于 A ，若对任意整数 c0  A 且同时 有 c0 +1 A  B 是空集，矛盾。所以我们知必有整数 0 c ，使得 c0  A ，而 c0 +1 B 其次考虑 0 c .0, 0 c .1, 0 c .2,…., 0 c .9 这时必存在 1 c 是 0，1,…,9 中的某数，使得 0 c . 1 c  A , 0 c .( 1) c1 +  B (若 1 c =9，则 0 c . (c1 +1) = c0 +1.0 ) 如此继续下去，在确定了 n c ，即： 0 c 1 c 2 c …. 0n c , 0 c 1 c 2 c …. cn1,….., 0 c 1 c 2 c …. 9n c