上的定义是确定的.为证H是环上的测度,只需证明在上是可数可加的设 An}是中的一列互不相交的集,使得A=UA∈R设A和A,(n≥1的分解式分 别为 A=∪E,A,=UF,n≥1 则{Fn,:1≤j≤kn,n≥1}是C中的一列互不相交的集我们有 E,=Uc 其中C,1≤≤k,1≥1是由{F:1sj≤kn,n≥1}重新编号得到的.由于在C 上是可数可加的,我们有 以(4=S(E)=∑(CD)=∑∑以(F1)=∑(4) 即在上是可数可加的.因此μ是环上的测度 定理8使得我们构造一个测度时更加容易.在§23和§4.6我们将看到这个定理的 应用. 测度的完备性下面我们考虑测度的完备性.设(x,,)为一测度空间,ECX 若存在A∈丌,μ(A)=0,使得EA,则称E为μ-可略集.在有些问题中会涉及到 关于μ-可略集可测性的讨论如果μ-可略集不一定是可测集,有时会带来一些不便.然 而对一般的测度空间而言,4-可略集不一定是可测集 例1设X=[0,1,分={x,则}令(X)=()=0,则是σ-代数上的测 度.令E=[0,,则E是μ-可略集,但Eg了 定义9设(X,,)为一测度空间.若每个μ可略集E都是可测集即E∈牙) 则称了关于测度是完备的,或称测度空间(X,,p)是完备的 例如,例2中的分关于4不是完备的 定理10设是环上的测度,是由导出的外测度.R是4-的全体所成的 集类.则R”关于测度是完备的 证明设E是μ-可略集.则存在A∈”,使得(A)=0并且EcA.由外测 度的单调性得到(E)=0.显然此时E满足卡氏条件,故E∈R”.因此关于测度 是完备的.定理证毕55 R 上的定义是确定的. 为证 µ 是环R 上的测度, 只需证明 µ 在R 上是可数可加的. 设 { } An 是R 中的一列互不相交的集, 使得 = ∈ ∞ = U n 1 A An R. 设 A 和 A (n ≥ 1) n 的分解式分 别为 , 1 U k i A Ei = = , 1. 1 = , ≥ = A F n n k j n U n j 则{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 是C 中的一列互不相交的集. 我们有 , 1, , . 1 , E C i k l i =U i l = L ∞ = 其中{ , 1 , 1} Ci,l ≤ i ≤ k l ≥ 是由{ :1 , 1} Fn, j ≤ j ≤ kn n ≥ 重新编号得到的. 由于 µ 在C 上是可数可加的, 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 , 1 1 , 1 ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = = = ∞ = = = = = = n n n k j n j k i l i l k i A Ei C F A n µ µ µ µ µ 即 µ 在R 上是可数可加的. 因此 µ 是环R 上的测度. 定理 8 使得我们构造一个测度时更加容易. 在 2.3 和 4.6 我们将看到这个定理的 应用. 测度的完备性 下面我们考虑测度的完备性. 设(X , F ,µ) 为一测度空间, E ⊂ X. 若存在 A∈ F , µ(A) = 0, 使得 E ⊂ A, 则称 E 为 µ -可略集. 在有些问题中会涉及到 关于 µ -可略集可测性的讨论. 如果 µ -可略集不一定是可测集, 有时会带来一些不便. 然 而对一般的测度空间而言, µ -可略集不一定是可测集. 例 1 设 X = [0, 1], F ={X , ∅}.令 µ(X ) = µ(∅) = 0, 则 µ 是σ -代数F 上的测 度. 令 E [0, ]2 1 = , 则 E 是 µ -可略集, 但 E ∉ F . 定义 9 设(X , F ,µ) 为一测度空间. 若每个 µ -可略集 E 都是可测集(即 E ∈ F ), 则称F 关于测度 µ 是完备的, 或称测度空间(X , F ,µ) 是完备的. 例如, 例 2 中的F 关于 µ 不是完备的. 定理 10 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -的全体所成的 集类. 则 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 证明 设 E 是 µ −可略集. 则存在 A∈ ∗ R , 使得 ( ) = 0 ∗ µ A 并且 E ⊂ A. 由外测 度的单调性得到 ( ) = 0. ∗ µ E 显然此时 E 满足卡氏条件, 故 E ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 关于测度 ∗ µ 是完备的. 定理证毕