教学内容 、泰勒级数 上节例题∑(-1)~3=h(1+x)(-1<x≤1 f(x)=∑an(x-x)存在幂级数在其收敛域内以为和函数 问题:1.如果能展开,an是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 定理1如果函数f(x)在U2(x)内具有任意阶导数,且在U。(x0)内能展开成 (x-x)的幂级数,即f(x)=∑a1(x-x)则其系数an=f(x) (n=0,1,2,…)且展开式是唯一的 证明∵∑a(x-x)在n(x)内收敛于f(x),即 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x)"+ 逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan1(x-x0)+ f("(x)=mlan+(n+1)m…3·2an1(x-x0)+ x=x0,即得 an=-f(m(x)(n=0,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)的展开式是唯一的 定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 (x-5)称为f()在点馬的泰勒级数 ! ∫x称为f(x)在点x的麦克劳林级数 22 教 学 内 容 一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1  − = + −    = − x x n x n n n n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = 存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, n a 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 定理 1 如果函数 f (x) 在 ( ) 0 U x  内具有任意阶导数, 且在 ( ) 0 U x  内能展开成 ( ) 0 x − x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = 则其系数 ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = (n = 0,1,2, ) 且展开式是唯一的. 证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n −  =  f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 逐项求导任意次,得 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + f (n) (x) = n!an + (n +1)n32an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 泰勒系数 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的. 定义 如果 f (x) 在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为 f (x) 在点 0 x 的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为 f (x) 在点 0 x 的麦克劳林级数