曲面形态连续介质有限变形理论一守恒律方程 谢锡麟 式中左边的第一项和第二项可由内蕴形式的第二类广义 Stokes公式转换为面积分,如下所示 (-p)+H(-p) ∑do gd (T×n)·(v8口+口8v)×∑dl V⑧口+口⑧V+Hn·V⑧日]×∑da ∑ g4·(v∞a+百sV)×gdo 由此,可得动量矩守恒的微分形式.再考虑动量守恒的微分形式,可得动量矩守恒的微分形式,如 下所示: g2·(vaa+v)×g=M 其分量形式为 3 ax +bIsl M 可见,仅涉及运动及外力偶在切平面上的平衡 若考虑曲面应力,则就动量矩守恒可有以下结论 定理1.1(动量矩守恒).如果曲面形态连续介质边界上的作用由曲面应力表示为 t;92⑧g3+tag2⑧ 则动量矩守恒具有以下形式 此处mx代表面力偶分布. 证明基于曲面应力,动量守恒可表示如下: /: pado=fA(rxm).tad +/A 其微分形式为 口·t+Hn:t+f t+ f 另一方面,动量矩守恒可表示如下 xEd=中:(Txn):t×Ed+/fs×Ea有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 式中左边的第一项和第二项可由内蕴形式的第二类广义 Stokes 公式转换为面积分, 如下所示: − ∮ C (τ × n) × [(γ − p)Σ] dl = − ∫ t Σ [ Σ (γ − p) + H(γ − p)n ] × Σdσ − ∫ t Σ (γ − p)g l × gldσ, = − ∫ t Σ [ Σ (γ − p) + H(γ − p)n ] × Σdσ − ∮ C µ(τ × n) · [(V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) × Σ ] dl = −µ ∫ t Σ [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] × Σdσ −µ ∫ t Σ g l · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) × gldσ. 由此, 可得动量矩守恒的微分形式. 再考虑动量守恒的微分形式, 可得动量矩守恒的微分形式, 如 下所示: µ g l · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) × gl = M, 其分量形式为 µ ϵ3lk ( ∂V 3 ∂xl Σ + blsV s ) = Mk . 可见, 仅涉及运动及外力偶在切平面上的平衡. 若考虑曲面应力, 则就动量矩守恒可有以下结论. 定理 1.1 (动量矩守恒). 如果曲面形态连续介质边界上的作用由曲面应力表示为 t = tijg i ⊗ g j + ti3g i ⊗ n, 则动量矩守恒具有以下形式: g l · (t × gl ) = mΣ, 此处 mΣ 代表面力偶分布. 证明 基于曲面应力, 动量守恒可表示如下: ∫ t Σ ρadσ = ∮ ∂ t Σ (τ × n) · tdl + ∫ t Σ f Σdσ, 其微分形式为 ρa = Σ · t + Hn · t + f Σ = Σ · t + f Σ. 另一方面, 动量矩守恒可表示如下: ∫ t Σ ρa × Σdσ = ∮ ∂ t Σ [(τ × n) · t] × Σdl + ∫ t Σ f Σ × Σdσ − ∫ t Σ mΣdσ. 5