第六节闭区间上连续函数的性质 教学目的：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值 定理)，并会应用这些性质。 教学重点：连续函数的有界性、最大值和最小值定理、介值定理 教学难点：连续函数的介值定理 教学过 如 函数f)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，就称 函数f(x)在闭区间[a,b)上连续. 下面介绍在闭区间上连续的函数的几个重要性质， 一、有界性与最大值和最小值定理 先说明最大值和最小值的概念.设函数∫x)在区间1上有定义，如果有1，使得对 于任一x∈I都有fx)≤fx)(或fx)≥f),则称f)为函数f)在区间I上的最大 值（吉最小值）. 定理1（最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值. 这说是说，如果函数fx)在闭区间[a,上连续，那么至少存在一点∈a,使得 f(:)为函数fx)在闭区间[a,b)上的最大值：也至少存在一点，∈a,b,使得f(32)为函数 fx)在闭区间[a,b上的最小值 注意：如果定理中的条件不满足，结论就不一定成立。例如：函数y=snx在(0，)内 连续，但没有最大值也没有最小值，但在开区间内连续的函数也可以取得最大值与最小值， 例如函数y=sx在(0,2)内连续，它在该区间内有最大值f()=1与最小值 x+l,-1sx<0 f3)=1.函数)= 0。x=0 在-1，上有间断点x=0,它在[-1，上没有最大 x-l,0<x≤1 值与最小值 推论（有界性定理）闭区间上的连续函数一定是该区间上的有界函数 二、零点定理与介值定理 如果使f)=0,则x称为f)的零点. 定理2（零点定理）设函数x)在闭区间[a,b1上连续，且f(a)与fb)异号（即 fa)fb)<0),那么在开区间(a,b)内至少有一点(a<5<b),使f)=0. y=f)的两个 如果连续曲线弧 轴的不同侧， 这段曲线弧与x轴至少有一个交点（图1一27）. 图1-27 例1证明方程x-3x-1=0在(1,2)内至少有一个实根. 1 第六节 闭区间上连续函数的性质 教学目的：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值 定理），并会应用这些性质。 教学重点：连续函数的有界性、最大值和最小值定理、介值定理 教学难点：连续函数的介值定理 教学过程： 如果函数 f x( ) 在开区间 ( , ) a b 内连续，且在左端点 a 右连续，在右端点 b 左连续，就称 函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续． 下面介绍在闭区间上连续的函数的几个重要性质． 一、有界性与最大值和最小值定理 先说明最大值和最小值的概念．设函数 f x( ) 在区间 I 上有定义，如果有 0 x I  ，使得对 于任一 x I  都有 0 f x f x ( ) ( )  （或 0 f x f x ( ) ( )  ），则称 0 f x( ) 为函数 f x( ) 在区间 I 上的最大 值（吉最小值）． 定理 1（最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值． 这说是说，如果函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，那么至少存在一点 1 x a b [ , ] ，使得 1 f x( ) 为函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上的最大值；也至少存在一点 2 x a b [ , ] ，使得 2 f x( ) 为函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上的最小值 注意：如果定理中的条件不满足，结论就不一定成立．例如：函数 y x = sin 在 (0, ) 2  内 连续，但没有最大值也没有最小值，但在开区间内连续的函数也可以取得最大值与最小值， 例如函数 y x = sin 在 (0,2 )  内 连 续 ， 它 在 该 区 间 内 有 最 大 值 ( ) 1 2 f  = 与最小值 3 ( ) 1 2 f  = − ．函数 1, 1 0 ( ) 0, 0 1,0 1 x x f x x x x  + −    = =    −   在 [ 1,1] − 上有间断点 x = 0 ，它在 [ 1,1] − 上没有最大 值与最小值． 推论（有界性定理） 闭区间上的连续函数一定是该区间上的有界函数． 二、零点定理与介值定理 如果 0 x 使 0 f x( ) 0 = ，则 0 x 称为 f x( ) 的零点． 定理 2（零点定理） 设函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，且 f a( ) 与 f b( ) 异号（即 f a f b ( ) ( ) 0   ），那么在开区间 ( , ) a b 内至少有一点   ( ) a b   ，使 f ( ) 0  = ． 从几何上看，定理 17 表示：如果连续曲线弧 y f x = ( ) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么, 这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点（图 1－27）． 图 1－27 例 1 证明方程 5 x x − − = 3 1 0 在 (1,2) 内至少有一个实根．