第六节闭区间上连续函数的性质 教学目的：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值 定理)，并会应用这些性质。 教学重点：连续函数的有界性、最大值和最小值定理、介值定理 教学难点：连续函数的介值定理 教学过 如 函数f)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，就称 函数f(x)在闭区间[a,b)上连续. 下面介绍在闭区间上连续的函数的几个重要性质， 一、有界性与最大值和最小值定理 先说明最大值和最小值的概念.设函数∫x)在区间1上有定义，如果有1，使得对 于任一x∈I都有fx)≤fx)(或fx)≥f),则称f)为函数f)在区间I上的最大 值（吉最小值）. 定理1（最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值. 这说是说，如果函数fx)在闭区间[a,上连续，那么至少存在一点∈a,使得 f(:)为函数fx)在闭区间[a,b)上的最大值：也至少存在一点，∈a,b,使得f(32)为函数 fx)在闭区间[a,b上的最小值 注意：如果定理中的条件不满足，结论就不一定成立。例如：函数y=snx在(0，)内 连续，但没有最大值也没有最小值，但在开区间内连续的函数也可以取得最大值与最小值， 例如函数y=sx在(0,2)内连续，它在该区间内有最大值f()=1与最小值 x+l,-1sx<0 f3)=1.函数)= 0。x=0 在-1，上有间断点x=0,它在[-1，上没有最大 x-l,0<x≤1 值与最小值 推论（有界性定理）闭区间上的连续函数一定是该区间上的有界函数 二、零点定理与介值定理 如果使f)=0,则x称为f)的零点. 定理2（零点定理）设函数x)在闭区间[a,b1上连续，且f(a)与fb)异号（即 fa)fb)<0),那么在开区间(a,b)内至少有一点(a<5<b),使f)=0. y=f)的两个 如果连续曲线弧 轴的不同侧， 这段曲线弧与x轴至少有一个交点（图1一27）. 图1-27 例1证明方程x-3x-1=0在(1,2)内至少有一个实根
1 第六节 闭区间上连续函数的性质 教学目的：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值 定理），并会应用这些性质。 教学重点：连续函数的有界性、最大值和最小值定理、介值定理 教学难点：连续函数的介值定理 教学过程： 如果函数 f x( ) 在开区间 ( , ) a b 内连续，且在左端点 a 右连续，在右端点 b 左连续，就称 函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续． 下面介绍在闭区间上连续的函数的几个重要性质． 一、有界性与最大值和最小值定理 先说明最大值和最小值的概念．设函数 f x( ) 在区间 I 上有定义，如果有 0 x I ，使得对 于任一 x I 都有 0 f x f x ( ) ( ) （或 0 f x f x ( ) ( ) ），则称 0 f x( ) 为函数 f x( ) 在区间 I 上的最大 值（吉最小值）． 定理 1（最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值． 这说是说，如果函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，那么至少存在一点 1 x a b [ , ] ，使得 1 f x( ) 为函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上的最大值；也至少存在一点 2 x a b [ , ] ，使得 2 f x( ) 为函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上的最小值 注意：如果定理中的条件不满足，结论就不一定成立．例如：函数 y x = sin 在 (0, ) 2 内 连续，但没有最大值也没有最小值，但在开区间内连续的函数也可以取得最大值与最小值， 例如函数 y x = sin 在 (0,2 ) 内 连 续 ， 它 在 该 区 间 内 有 最 大 值 ( ) 1 2 f = 与最小值 3 ( ) 1 2 f = − ．函数 1, 1 0 ( ) 0, 0 1,0 1 x x f x x x x + − = = − 在 [ 1,1] − 上有间断点 x = 0 ，它在 [ 1,1] − 上没有最大 值与最小值． 推论（有界性定理） 闭区间上的连续函数一定是该区间上的有界函数． 二、零点定理与介值定理 如果 0 x 使 0 f x( ) 0 = ，则 0 x 称为 f x( ) 的零点． 定理 2（零点定理） 设函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，且 f a( ) 与 f b( ) 异号（即 f a f b ( ) ( ) 0 ），那么在开区间 ( , ) a b 内至少有一点 ( ) a b ，使 f ( ) 0 = ． 从几何上看，定理 17 表示：如果连续曲线弧 y f x = ( ) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么, 这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点（图 1－27）． 图 1－27 例 1 证明方程 5 x x − − = 3 1 0 在 (1,2) 内至少有一个实根．
证设fx)=x-3x-1,则/x)在1,2上连续，且ff2)=-3×250 根据零点定理：至少存在一点5∈(1,2)，使得f()=0,即方程x-3x=1至少有一个根 介于1和2之间. 小结与思考： 本节介绍了在闭区间上连续函数的有界性、最大值和最小值定理、零点定理和介值定理。 、设eCk,且对任意xe,存在yea.使得0以=/ 证明 存在5ea,】,满足⑤)=0 证明：由于f)eCa,则/∈C,月，由最值定理：x在a,小上有最小 值/儿.又由题意知：存在y∈a,),使得/0X2入，于是/0/G0. 作业：作业见作业卡
2 证 设 5 f x x x ( ) 3 1 = − − ，则 f x( ) 在 [1,2] 上连续，且 f f (1) (2) 3 25 0 = − ．由零点定 理知，在 (1,2) 至少有一点 ，使 f ( ) 0 = ，即 是方程 5 x x − − = 3 1 0 在 (1,2) 内的一个根． 由定理 17 可推得下面更一般的情形． 定理 3（介值定理） 设函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，那么它在 [ , ] a b 上能取到介于 其最大值 M 与最小值 m 之间的任何值． 证 因 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，由定理 16 知，必存在 1 2 , 使 1 2 f M f m ( ) , ( ) = = ， 设 m M ， c 为 M 与 m 之间的任意一个数，即 m c M ．作辅助函数 ( ) ( ) x f x c = − ，则 ( ) x 在 1 2 [ , ] （或 2 1 [ , ] ）上连续， 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = − − m c M c ，由定理 17 得，至少 有一点 （ 在 1 与 2 之间），使 ( ) 0 = ．而 ( ) ( ) = − f c ，所以 f c ( ) = （ 在 1 与 2 之间）．因 1 2 , [ , ] a b ，故 ( , ) a b ． 例 2 设 f (x) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续且 0 f (x) 1 ，则至少存在一点 [ 0 , 1 ]， 使得 f ( ) = ． 证明：令 F(x) = f (x) − x ，则 F(x) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 连续且 F(0) = f (0) − 0 = f (0) 0 ， F(1) = f (1) −1 0 根据零点定理：至少存在一点 [ 0 , 1 ] ，使得 F( ) = 0 ，即 f ( ) = ． 例 3 方程 3 1 5 x − x = 至少有一个根介于 1 和 2 之间． 证明：令 f (x) = 3 1 5 x − x − ，则 f (1) = −3 0 ， f (2) = 25 0 根据零点定理：至少存在一点 (1,2) ，使得 f ( ) = 0 ，即方程 3 1 5 x − x = 至少有一个根 介于 1 和 2 之间． 小结与思考： 本节介绍了在闭区间上连续函数的有界性、最大值和最小值定理、零点定理和介值定理。 1、设 f (x)Ca,b ，且对任意 xa,b ，存在 y a,b ，使得 ( ) 2 1 f ( y) = f x ．证明 存在 a,b ，满足 f ( ) = 0 ． 证明：由于 f (x)Ca,b ，则 f (x) Ca,b ，由最值定理： f (x) 在 a,b 上有最小 值 ( ) 1 f x ．又由题意知：存在 y a,b 1 ，使得 ( ) 1 f y = ( ) 2 1 1 f x ，于是 ( ) 1 f y = ( ) 1 f x =0． 作业：作业见作业卡