* 林 课程代码：B052717,B052817座位号： 林林 新疆大学2012一2013学年第一学期期末考试 《数学分析（①）》试卷A及其答案 * 姓名： 学号： 专业： 学院 数学与系统科学学院 班级： 2013年1月10日 ** 题号 三 四 五 六 七 八 总分 米 订 * 得分 *米 线 ** 得分 评卷人 内 一、 叙述题（本大题共5小题，每题4分，共20分）请 答 *米 叙述下列定义或定理， l.设{an|n∈N}为数列，a∈R,则请叙述“lim an=a”的定义. 题 * 答： 无 * 画a.=a台>0，N,n>N,有a-d<e 2.请叙述“确界存在性定理” 效 答：确界存在性定理：上（下）有界的非空集合存在唯一的上（下）确界 米 线 *米 八林林 林林 数学分析（四试题第1页（共8页）
C æ Ç S â K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** æ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Ç ** ** ** ** ** ** ** ** ** ëßì˵B052717, B052817 冓µ #ıåÆ 2012—2013 Æc1òÆœœ"£ 5ÍÆ©¤ (I)6£Ú A 9ŸâY 6¶µ Æ“µ ;íµ Æµ ÍÆÜX⁄âÆÆ Å?µ 2013 c 1 10 F K“ ò n o 8 ‘ l o© © © µÚ 0, ∃N, ∀n > N, k |an − a| < 2. ûQ„“(.35½n” . â: (.35½n: ˛ (e) k.öò8‹3çò˛ (e) (. ÍÆ©¤ (II) £K 1 1 ê£ 8 ê§
3.设函数f纠在(a,+∞)有定义，6∈R,那么请叙述定义：mf)=b 1imfe)=b台e>0,3X>0,z>X,有f(x)-l<e 4.请叙述“Rolle定理” 答：Rolle定理：若f在a,连续，在(a,b)可导且f(a=fb),则必存 在￡e(a,b)满足f'(E)=0. 5.诗叙述“连续函数零点存在定理”. 答：连续函数零点存在定理：若∫∈C[a,)且f(@)f(⑥<0，则f(r)在[a,)至 少有一个零点 数学分析（山）试题第2页（共8页）
3. ºÍ f(x) 3 (a, +∞) k½¬, b ∈ R, @oûQ„½¬: lim x→+∞ f(x) = b. â: lim x→+∞ f(x) = b ⇔ ∀ > 0, ∃X > 0, ∀x > X, k |f(x) − b| < . 4. ûQ„“ Rolle ½n” . â: Rolle ½n: e f 3 [a, b] ÎY, 3 (a, b) åÖ f(a) = f(b), K7 3 ξ ∈ (a, b) ˜v f 0 (ξ) = 0. 5. ûQ„“ÎYºÍ":3½n”. â: ÎYºÍ":3½n: e f ∈ C[a, b] Ö f(a)f(b) < 0, K f(x) 3 [a, b] ñ kòá":. ÍÆ©¤ (II) £K 1 2 ê£ 8 ê§
得分评卷人 二、计算或判断题（本大题共8小题，每题5分，共 40分) 1求∑产1的和 守安 1 三a思8-眼司-号 装林 之来规保职十之 装 答：因为imn→e点=limn是=limn→e点=0，所以 订 n4+3n2-2n lim 1+3驰-2经_1+3m点-2m 100-=- i地9-1 线 -1+0-0- 内 0-1 答 3求im1+)0 解：因为1imm→x(1+品)”=e,所以由V丘的连续性 题 无 +)”-+门 效 ▣()- 数学分析()试题第3页（共8页）
C æ Ç S â K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** æ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Ç ** ** ** ** ** ** ** ** ** © µÚ< !O齉K ( åK 8 KßzK 5 ©ß 40 © ) 1. ¶ P∞ n=1 1 n2+3n+2 ⁄. ): œè 1 n2+3n+2 = 1 n+1 − 1 n+2 , §± Sn = Pn k=1 1 k 2+3k+2 = Pn k=1 1 k+1 − 1 k+2 = 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + 1 4 − 1 5 + · · · + 1 n − 1 n+1 + 1 n+1 − 1 n+2 = 1 2 − 1 n+2 . l , d½¬ X∞ n=1 1 n2 + 3n + 2 = limn→∞ Sn = limn→∞ 1 2 − 1 n + 2 = limn→∞ 1 2 − limn→∞ 1 n + 2 = 1 2 . 2. ¶4Å limn→∞ n 4 + 3n 2 − 2n 100 − n4 . â: œè limn→∞ 1 n2 = limn→∞ 1 n3 = limn→∞ 1 n4 = 0, §± limn→∞ n 4 + 3n 2 − 2n 100 − n4 = limn→∞ 1 + 3 1 n2 − 2 1 n3 100 n4 − 1 = 1 + 3 limn→∞ 1 n2 − 2 limn→∞ 1 n3 limn→∞ 100 n4 − 1 = 1 + 0 − 0 0 − 1 = −1 3. ¶ limn→∞ 1 + 1 4n 2n . ): œè limm→∞ 1 + 1 m m = e, §±d √ x ÎY5 limn→∞ 1 + 1 4n 2n = limn→∞ " 1 + 1 4n 4n # 1 2 = " limn→∞ 1 + 1 4n 4n # 1 2 = e 1 2 ÍÆ©¤ (II) £K 1 3 ê£ 8 ê§
4.求授限细蛊器 解：因为my一0-粤=1，所以 整3=3w2 一器-罩器提等 5.求四1+5cotj2a 餐：因为卿1+)i=6吗50ot工=5吗otx=0,所以 (om(co) ={+5点}”=e 6.求函数f(c)=sim(sinx)的一阶导数与二阶导数 f(r)=cos(sin r)cosr,f"(r)=-sin(sinr)cos2x-cos(sin r)sinr 数学分析（山）试题第4页（共8页）
4. ¶4Å limx→0− sin 3x sin 2x ): œè limy→0− sin y y = 1, §± limx→0− sin 3x sin 2x = limx→0− sin 3x 3x sin 2x 2x 3x 2x = 3 2 limx→0− sin 3x 3x limx→0− sin 2x 2x = 3 2 × 1 1 = 3 2 5. ¶ lim x→π 2 (1 + 5 cot x) 2 tan x . â: œè lim y→0 (1 + y) 1 y = e, lim x→π 2 5 cot x = 5 lim x→π 2 cot x = 0, §± lim x→π 2 n (1 + 5 cot x) 1 5 cot x o5 cot x×2 tan x = lim x→π 2 n (1 + 5 cot x) 1 5 cot x o10 = lim x→π 2 (1 + 5 cot x) 1 5 cot x 10 = e 10 6. ¶ºÍ f(x) = sin(sin x) ò ÍÜ Í. â: f 0 (x) = cos(sin x) cos x, f00(x) = − sin(sin x) cos2 x − cos(sin x) sin x ÍÆ©¤ (II) £K 1 4 ê£ 8 ê§
7.求函数f(c)=x3-x的严格单调区间. 答：f(x)的定义域为(-o.+0).f"(x)=3x2-1=3(x2-)= 3(-方)(e+为)，若令f回)=0，则王=-为王=方将定义 城(-0，+0)分为(-0，-方(-方方.（+ ()时回>01严格华调 11 z∈（有)时倒0f严格单调增 订 k=职但-典0=0 线 6=照Ua-)-典-0 内 即y=0是该函数的渐近线 答 题 无 效 数学分析()试题第5页（共8页）
C æ Ç S â K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** æ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Ç ** ** ** ** ** ** ** ** ** 7. ¶ºÍ f(x) = x 3 − x ÓǸN´m. â: f(x) ½ ¬ ç è (−∞, +∞). f0 (x) = 3x 2 − 1 = 3 x 2 − 1 3 = 3 x − √ 1 3 x + √ 1 3 . e- f 0 (x) = 0, K x = − √ 1 3 , x = √ 1 3 . Ú½¬ ç (−∞, +∞) ©è (−∞, − √ 1 3 ), (− √ 1 3 , √ 1 3 ), ( √ 1 3 , +∞). ∀x ∈ −∞, − 1 √ 3 û f 0 (x) > 0 ⇒ f ÓǸN4O ∀x ∈ − 1 √ 3 , 1 √ 3 û f 0 (x) 0 ⇒ f ÓǸN4O 8. ¶ºÍ f(x) = e −x sin x ÏCÇ. ): y = kx + b ¥TºÍÏCÇ, K k = lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ sin x xex = 0 b = lim x→+∞ (f(x) − kx) = lim x→+∞ sin x e x = 0 = y = 0 ¥TºÍÏCÇ. ÍÆ©¤ (II) £K 1 5 ê£ 8 ê§
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1.用极限定义证明 驶=2 证明：e>0要使 2.用极限定义证明：，1im10=+o。 3.用极限定义证明：1im(2x+6)=10 证明：e>0,x2-,取6=>0，则e>0,36 >0,x:2-6<x<2有I(2x+6)-10|<e,即1ig(2x+6)=10. 数学分析（山）试题第6页（共8页）
© µÚ 0 ᶠ8n + 1 4n − 2 = 8n + 1 − 8n 4n = 1 4n 1 4 . N = 1 4 , K ∀ > 0, ∃N = 1 4 , ∀n > N k 8n+1 4n − 2 0 á ¶ 10x > G § ·. ) T ÿ ™ x > lg G. X = max{1, lg G} > 0, K ∀G > 0, ∃X = max{1, lg G} > 0, ∀x > X, k 10x > G, = lim x→+∞ 10x = +∞. 3. ^4Ž¬y²: limx→2− (2x + 6) = 10. y²: ∀ > 0, x 2 − 2 . δ = 2 > 0, K ∀ > 0, ∃δ = 2 > 0, ∀x : 2 − δ < x < 2 k |(2x + 6) − 10| < , = limx→2− (2x + 6) = 10. ÍÆ©¤ (II) £K 1 6 ê£ 8 ê§
4.用定义证明：函数f)=x2在【-1,1)一致连续 证明：e>0,x1,x2∈-1,1]要使 /x)-f(x2训=c-x=l(x1-x2)(x1+2l≤(（0rl+z20lx1-x2≤2x1-x2<e 装林 ,sir在0，刊（或，O)可导.所以由Lagrange中值定理知 道∈(0，x)(或（红，0）)使得 isnx-sin0=(sinx)1=(x-0)→sinx=(cos)x→|sin=|cos≤lzl, 装 即，对一切xeR有|sinx≤l 订 线 林林林 内 答 订林 题 无 效 数学分析()试题第7页（共8页）
C æ Ç S â K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** æ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Ç ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. ^½¬y²: ºÍ f(x) = x 2 3 [−1, 1] òóÎY. y²: ∀ > 0, x1, x2 ∈ [−1, 1] ᶠ|f(x1)−f(x2)| = |x 2 1−x 2 2 | = |(x1−x2)(x1+x2)| ≤ (|x1|+|x2|)|x1−x2| ≤ 2|x1−x2| 0, K ∀ > 0, ∃δ = 1 2 > 0, x1, x2 ∈ [−1, 1] : |x1 − x2| < δ, k |f(x1) − f(x2)| < , = f(x) = x 2 3 [−1, 1] òóÎY. 5. y²: ÈòÉ x ∈ R k |sin x| ≤ |x|. y²: È ∀x ∈ R, sin x 3 [0, x] (½ [x, 0]) å. §±d Lagrange •ä½n ∃ξ ∈ (0, x) (½ (x, 0)) ¶ sin x − sin 0 = (sin x) 0 |x=ξ(x − 0) ⇒ sin x = (cos ξ)x ⇒ |sin x| = | cos ξ||x| ≤ |x|, =, ÈòÉ x ∈ R k |sin x| ≤ |x|. ÍÆ©¤ (II) £K 1 7 ê£ 8 ê§
得分评卷人 四、综合题（本大题共2小题，每题5分，共10分） 1,求(mr即求x关于sinx的导数。 解：令y=sinx,则x=arcsiny.所以 1 (r)sin (arcsin y)=- VI-V1-sinz cos 2.运用导数讨论函数y=x(x>0)的单调性. 解：由x>0知道y>0.因此，ny=xlnx.等式两边求关于x的导数得到 =加z+zx上-az+1→y=a+到=ra+刘 x 令y=0,则1nx=-1→x=1.将(0，+o∞)分为(0，)，（日，+o∞） ze(0月)时，0→y严格单调递增 数学分析（四）试题第8页（共8页）
© µÚ 0) ¸N5. ): d x > 0 y > 0. œd, ln y = x ln x. ™¸>¶'u x Í 1 y y 0 = ln x + x × 1 x = ln x + 1 ⇒ y 0 = y[ln x + 1] = x x [ln x + 1] - y 0 = 0, K ln x = −1 ⇒ x = 1 e . Ú (0, +∞) ©è (0, 1 e ), ( 1 e , +∞). ∀x ∈ 0, 1 e û, y0 0 ⇒ y ÓǸN4O ÍÆ©¤ (II) £K 1 8 ê£ 8 ê§