课程代码：B052717,B052817座位号： 新疆大学2010一2011学年第一学期期末考试 《数学分析II山)》试卷A及其答案 姓名： 学号： 专业： 学院 数学与系统科学学院 班级： 2011年1月6日 装 题号 三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 叙述题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 答 订料 1.请叙述“无穷积分心f(x)d发散”的定义. 题 答：设g∈R,g
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** §èµB052717, B052817 Òµ #õÆ 2010—2011 Æc1ÆÏÏ"Á 5êÆ©Û(III)6Áò A 9ÙY 6¶µ ÆÒµ ;µ Ƶ êÆXÚÆÆ ?µ 2011 c 1 6 F KÒ n o Ê 8 Ô l o© © © µò< !QãK £ K 4 K§zK 5 ©§ 20 © ¤ 1. Qã“áȩ R b −∞ f(x)dx uÑ” ½Â. µ ∀q ∈ R, q < b, ¼ê f(x) 3 [q, b] È,e4 lim q→−∞ Z b q f(x)dx Ø3,K¡Ã¡È© R b −∞ f(x)dx uÑ. 2.Ñ“×È©”½Â. µ¼ê f(x) 3«m [a, b) (½ (a, b] ½[a, c) ∪ (c, b] )k½Â, b ( a ½ c )´¼ ê f(x) ×:. ÎÒ Z b a f(x) dx ¡¼ê f(x) ×È©. êÆ©Û(III)ÁK 1 1 £ 8 ¤
3.请叙述“∫f(x)g(x)dz(a是瑕点)的Dirichlet判别法." 答：Dirichlet判别法：设函数f(c)与g(r)在区间(a,)有定义，在任何区 间【a+6,都可积(a是瑕点)，若 (1)积分F(6)=9(x)d为6的有界函数，即K>0,6>0 有lF(6l=f(x)dx≤K; ②)函数f回在a,月上是单调的，且，imf)=0, 则瑕积分efr)g(c)dc收敛 4请叙述“Gren(格林)定理，” 答：Green定理：若函数P,Q及其偏导数器，C在有界闭区域D上连续，则有 /(保-）=f+9购 其中「是围成闭区域D的边界封闭曲线，取正向 数学分析（山试题第2页（共8页）
3. Qã“ R b a f(x)g(x)dx ( a ´×:) Dirichlet O{.” : Dirichlet O{: ¼ê f(x) g(x) 3«m (a, b] k½Â, 3?Û« m [a + δ, b] ÑÈ ( a ´×:), e (1) È© F(δ) = R b a+δ g(x)dx δ k.¼ê, = ∃K > 0, ∀δ > 0 k |F(δ)| = R b a+δ f(x)dx ≤ K; (2) ¼ê f(x) 3 (a, b] þ´üN, lim x→a+ f(x) = 0, K×È© R +∞ a f(x)g(x)dx Âñ. 4. Qã“ Green ()½n.” : Green ½n: e¼ê P, Q 9Ù ê ∂Q ∂x , ∂P ∂y 3k.4« D þëY, Kk ZZ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy = I Γ P dx + Qdy. Ù¥ Γ ´¤4« D >.µ4, . êÆ©Û(III)ÁK 1 2 £ 8 ¤
得分评卷人 二、计算题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 1.求下列函数的条件极值：∫=是++，联系方程是x+y+之=9，（任> 0,y>0,2>0) 解：由Lagrange乘数法，令(，2，A)-是+号++Ae+y+2-9),则 do 都在3中连续.令 8o =0→x=V, 装 do 订 =0→y=V, 09 ==0→= 线 内 苏=0→x+y+8-9=0 答 将x,z的值代入第四式，得3V-9=0→入=9.从而得x=y=z=3,即 极值点为（亿，2）=(3,3,3)，极值为f引3.3.3)=1. 题 无 效 2.求无穷积分∞dc 解：由无穷积分的定义 广=，典广中=典北 =,照分+=0+1=L 数学分析（四）试题第3页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** © µò 0, y > 0, z > 0) ): d Lagrange ¦ê{, - φ(x, y, z, λ) = 1 x + 1 y + 1 z + λ(x + y + z − 9), K ∂φ ∂x = − 1 x 2 + λ, ∂φ ∂y = − 1 y 2 + λ, ∂φ ∂x = − 1 z 2 + λ, ∂φ ∂λ = x + y + z − 9 Ñ3 R3 ¥ëY. - ∂φ ∂x = 0 ⇒ x = √ λ, ∂φ ∂y == 0 ⇒ y = √ λ, ∂φ ∂z == 0 ⇒ z = √ λ, ∂φ ∂λ = 0 ⇒ x + y + z − 9 = 0, ò x, y, z \1oª, 3 √ λ − 9 = 0 ⇒ λ = 9. l x = y = z = 3 , = 4: (x, y, z) = (3, 3, 3), 4 f|(3,3,3) = 1. 2. ¦Ã¡È© R +∞ 1 1 x2 dx. )µdáȩ½Â Z +∞ 1 1 x 2 dx = lim p→+∞ Z +∞ 1 d(− 1 x ) = lim p→+∞ (− 1 x ) p 1 = lim p→+∞ (− 1 p + 1) = 0 + 1 = 1. êÆ©Û(III)ÁK 1 3 £ 8 ¤
3.求9dz 解：x=0是产的瑕点，由瑕积分收敛的定义 [女学广a票中r 4.计算∫∫x2 drdy,.其中D是由直线x=0,y=1及x=V万所围成区域. iv- -fia-i(pu-t'ru) -(-+0-×-品 数学分析（山试题第4页（共8页）
3. ¦ R 0 −1 1 √3 x dx. ): x = 0 ´ 1 √3 x ×:, d×È©Âñ½Â Z 0 −1 1 √3 x dx = lim η→0+ Z 0−η −1 x − 1 3 dx = lim η→0+ 1 − 1 3 + 1 x − 1 3 +1 −η −1 = 3 2 lim η→0+ x 2 3 −η −1 = 3 2 lim η→0+ [(−η) 2 3 − (−1) 2 3 ] = − 3 2 . 4. O RR D x 2 y dxdy, Ù¥ D ´d x = 0, y = 1 9 x = √y ¤¤«. )µ D ´ y = x 2 , y = 1 y ¶¤«. dÈ©O{, ké y È ©, é x È©. ò D ÝK3 x ¶þ, «m [0, 1] , ∀x ∈ [0, 1], y l y = x 2 C y = 1. ZZ D x 2 y dxdy = Z 1 0 dx Z 1 x2 x 2 ydy = Z 1 0 x 2 1 2 y 2 y=1 y=x2 dx = Z 1 0 1 2 x 2 (1 − x 4 )dx = 1 2 Z 1 0 x 2 dx − Z 1 0 x 6 dx = 1 2 1 3 x 3 1 0 − 1 7 x 7 1 0 = 1 2 × 4 21 = 2 21 . êÆ©Û(III)ÁK 1 4 £ 8 ¤
5.求第二型曲线积分I=e2xydr+x2dy,其中C:y=x,由(0,0)到(1,1). 解：沿着C有d山=d.由第二型曲线积分的计算方法有 1=人2t+ry=[2r2+r2d=[3r2t =x6=1. 装 线 内答题无 效 数学分析（四）试题第5页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 5.¦1.È© I = R C 2xydx + x 2dy, Ù¥ C : y = x, d (0, 0) (1, 1). )µ÷X C k dy = dx. d1.È©O{k I = Z C 2xydx + x 2 dy = Z 1 0 (2x 2 + x 2 )dx = Z 1 0 3x 2 dx = x 3 | 1 0 = 1. êÆ©Û(III)ÁK 1 5 £ 8 ¤
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1,证明下列方程在指定点的邻域存在以工，！为自变量的隐函数，并求影 1-1=0, -1+如S-1+咖架1+到m到 OF OF ay 在上连续，并且| =-1+0=-1≠0.由隐函数存在定 理，在0.0)的领域荐在唯一的有偏导数的二元隐函数2=了G)使 得F(x,f(x,)=0,f(0,0)=-1. 对x+y-2-cosx2=0若关于y求偏导，有 1一+血e:+=01+红血+-喘=0 0z 1+xzsinzyz →=1-rysin ry- 2证明广收敛 证明：因为 品a操V乐-典品 =1=11 所以由比较判别法m山收敛 潮宣六备 (1-x) 恩0-=a-d+ -坦方-9 所以由比较判别法6一血收敛 数学分析（山试题第6页（共8页）
© µò 1. ¤±d'O{ R +∞ 1 1 x √ x+1 dx Âñ. 3. y² R 1 0 √ 1 1−x2 dx Âñ. y²: x = 1 ´ √ 1 1−x2 ×:. Ï limx→1− (1 − x) 1 2 1 √ 1 − x 2 = limx→1− (1 − x) 1 2 (1 − x) 1 2 (1 + x) 1 2 = limx→1− 1 (1 + x) 1 2 = 1 √ 2 = √ 2 2 < +∞, λ = 1 2 < 1. ¤±d'O{ R 1 0 √ 1 1−x2 dx Âñ. êÆ©Û(III)ÁK 1 6 £ 8 ¤
4.证明ye-rdr在0≤y≤1非一致收敛. 证明：设=A>0,A0>A和物=e0,1,使得 =m(-e+ewo=eww=e=是>6 所以由非一致收敛的定义，ye-rdz在0≤y≤1非一致收敛 5.设r(a)=0x-e-+dr,a>0,证明∫eed=V 证明：设x2=t,d血=兴，有 装 订 fck-i"cicu-3ave 线 -r- 内 因为函数f(x)=e2是偶函数，所以有 答 rk-2e=2×g= 题 无 效 数学分析（四）试题第7页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. y² R +∞ 0 ye−yxdx 3 0 ≤ y ≤ 1 Âñ. y²: 0 = 1 3 , ∀A > 0, ∃A0 > A Ú y0 = 1 A ∈ [0, 1], ¦ Z +∞ A0 y0e −y0x dx = lim p→+∞ Z p A0 e −y0x d(y0x) = lim p→+∞ (−e −y0x ) p A0 = lim p→+∞ (−e −y0p + e −y0A0 ) = e −y0A0 = e − 1 A0 ×A0 = 1 e > 1 3 = . ¤±dÂñ½Â, R +∞ 0 ye−yxdx 3 0 ≤ y ≤ 1 Âñ. 5. Γ(α) = R +∞ 0 x α−1 e −xdx, α > 0, y² R +∞ −∞ e −x 2 dx = √ π. y²: x 2 = t, dx = dt 2 √ x , k Z +∞ 0 e −x 2 dx = 1 2 Z +∞ 0 t − 1 2 e −t dt = 1 2 Z +∞ 0 t ( 1 2 −1)e −t dt = 1 2 Γ(1 2 ) = 1 2 π. ϼê f(x) = e −x 2 ´ó¼ê, ¤±k Z +∞ −∞ e −x 2 dx = 2 Z +∞ 0 e −x 2 dx = 2 × π 2 = π. êÆ©Û(III)ÁK 1 7 £ 8 ¤
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 圆明若雨数与功在有郭闭区拔R都连线且)≥· f(a.u)a(r,u)drdu=f(n)g(t,u)drdu. mg,)≤fx,y)g(x,≤Mg(,), 从而，有 m fotz,dy≤fe,gl，drdy≤g,d. 若g,dd=0则 o二et=长列 g，g）drdy=0. R 若g在，dd>0,则 ff(r.v)g(r,y)drdy m≤B ≤M. .)drdy 由连续函数的介值定理，(5，)∈R,使得 f夏e咖eh e.y)dedy =f5,n 从而 et=低小s 数学分析（山试题第8页（共8页）
© µò 0, K m ≤ RR R f(x, y)g(x, y)dxdy RR R g(x, y)dxdy ≤ M. dëY¼ê0½n, ∃(ξ, η) ∈ R, ¦ RR R f(x, y)g(x, y)dxdy RR R g(x, y)dxdy = f(ξ, η), l ZZ R f(x, y)g(x, y)dxdy = f(ξ, η) ZZ R g(x, y)dxdy. êÆ©Û(III)ÁK 1 8 £ 8 ¤