新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（授课教案）第五章 线性微分方程组

第五章线性微分方程组 在微分方程理论中，线性方程是非常重要的一部分。为了研究线性方程组方便，需要引进向量和矩阵 的记号，许多理论只有借助于线性代数的知识才可以作出适当和充分的解释。而本章的每一个结果的特殊 情形都可以对应高阶线性微分方程组的一个相应结果。 S5.1存在唯一性定理 5.1.1记号和定义 x'=a,(x+a2()x2+.+a(0xn+f() 考察形如： x2'=a()x+a2(x3+.+an(xn+() (5.1) x'=anu(x+an2()）x2+.+am()x。+n() 的一阶线性方程组，其中已知函数a,(d亿，j=12,.,n)和f()i=1,2,.,m在区间a≤t≤b上是连续 的，方程组(5.)关于x,x2,.,x及x,x',.,x是线性的。 我们引进下面的记号 a.(t)a2().an(t)Y 40aa0.4. (5.2) ani()a(0）.an() 这里A(0是nxn矩阵，它的元素是n2个函数a(),j=1,2,.,n f21 f() (5.3) 5( 这里f(),x,x'是n×1矩阵或n维列向量。借助于矩阵记号，方程组(5.)就可以写成下面的形式 x'=A()x+f((5.4) 矩阵或向量在区间a≤1≤b上称为连续，如果它的每一个元素都是区间a≤1≤b上的连续函数。 第1页共16页

第 1 页 共 16 页 第五章 线性微分方程组 在微分方程理论中，线性方程是非常重要的一部分。为了研究线性方程组方便，需要引进向量和矩阵 的记号，许多理论只有借助于线性代数的知识才可以作出适当和充分的解释。而本章的每一个结果的特殊 情形都可以对应高阶线性微分方程组的一个相应结果。 §5. 1 存在唯一性定理 5．1．1 记号和定义 考察形如： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 5.1 n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t   = + + + +    = + + + +      = + + + +  的一阶线性方程组，其中已知函数 a t i j n ij ( )( , 1,2, , = ) 和 f t i n i ( )( =1,2, , ) 在区间 a t b   上是连续 的，方程组 (5.1) 关于 1 2 , , , n x x x 及 1 2 , , , n x x x    是线性的。 我们引进下面的记号 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 5.2 n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t       =       这 里 A t( ) 是 n n 矩 阵 ， 它 的 元 素 是 2 n 个函数 ( ), , 1,2, , ij a t i j n = ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 5.3 n n n f t x x f t x x f t x x f t x x                   = = =                           这里 f t x x ( ), ,  是 n1 矩阵或 n 维列向量。借助于矩阵记号，方程组 (5.1) 就可以写成下面的形式 x A t x f t  = + ( ) ( ) (5.4) 矩阵或向量在区间 a t b   上称为连续，如果它的每一个元素都是区间 a t b   上的连续函数

b(0b2().() 4( 一个n×n矩阵B( b(0bz(0.b2n()） 或一个n维列向量u()= 山，(在区间a≤t≤b b(0bn20.bn() 上可微，如果它的每一个元素都在区间a≤1≤b上可微，它们的导数分别由下式给出： 「6，(0，().() 40 B'()= b6()b6(I.b5n() () b(b2()）.b() ( 矩阵B()或者向量u()在区间a≤t≤b上可积的，如果每一个元素都在区间a≤t≤b上可积，它们的积 a,0t心b0t.fia.(0dh (Su(O)d 分为：心B()h= )db)d.a.) Lu()d= [uz(t)dt ∫ibu)dt b.(O)dh.∫ib()h a 定义1设A()是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，f()是同一区间a≤1≤b上的连续n维向量，方程 组x=A()x+f间(5.4)在某区间a≤1≤Ba,]e[a,b)的解就是向量u(),它的导 数d(d在区间a≤1≤B上连续且满足，(d=A()u(+f(),a≤1≤B 定义2初值问题x=A()x+f(),x(亿)=n(5.5)的解就是方程组(5.4)在包含1，的区间a≤1≤B 上的解u(),使得u(6)=7 (-e 解：0)=e）1 -e-且e和-e处处有连铁导数。 可跳0-日)-日小00是m, 例2证明n阶线性微分方程的初值问恩 I+a间-9++a0x+ax=f066 x()=7,x(6)=.,()=n, 其中a(),a(),.,an(t),f()是区间a≤t≤b上的已知函数，6∈[a,b],h.,n是已知常数 第2页共16页

第 2 页 共 16 页 一个 n n 矩阵 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t       =       或一个 n 维列向量 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n u t u t u t u t       =         在区间 a t b   上可微，如果它的每一个元素都在区间 a t b   上可微， 它们的导数分别由下式给出： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t              =          ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n u t u t u t u t          =          矩阵 B t( ) 或者向量 u t( ) 在区间 a t b   上可积的，如果每一个元素都在区间 a t b   上可积，它们的积 分为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 b b b n a a a b b b b n a a a a b b b n n nn a a a b t dt b t dt b t dt b t dt b t dt b t dt B t dt b t dt b t dt b t dt         =                   ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 b a b b a a b n a u t dt u t dt u t dt u t dt         =               定义 1 设 A t( ) 是区间 a t b   上的连续 n n 矩阵， f t( ) 是同一区间 a t b   上的连续 n 维向量，方程 组 x A t x f t  = + ( ) ( ) (5.4) 在某区间        t a b ( , ,   ) 的解就是向量 u t( ) ，它的导 数 u t ( ) 在区间    t 上连续且满足， u t A t u t f t t ( ) = +   ( ) ( ) ( ),  定义 2 初值问题 x A t x f t x t  = + = ( ) ( ), 5.5 ( 0 )  ( ) 的解就是方程组 (5.4) 在包含 0 t 的区间    t 上的解 u t( ) ，使得 u t( 0 ) = 例 1．验证向量 ( ) t t e u t e − −   =       − 是初值问题 ( ) 0 1 1 0 1 0 1 x x      = =         − 在区间 −   + t 上的解。 解： ( ) 0 0 1 0 1 e u e − −     = =       −   −   ，且 t e − 和 t e − − 处处有连续导数， 可以得到， ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 1 0 t t t t e e u t u t e e − − − −   −        = = =                 −   ，u t( ) 是给定初值问题的解。 例 2 证明 n 阶线性微分方程的初值问题 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 2 0 5.6 , , , n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t    − − −  + + + + =     = = =   其中 a t a t a t f t 1 2 ( ), , , , ( ) n ( ) ( ) 是区间 a t b   上的已知函数， 0 1 2  , , , ,  n t a b     是已知常数

与n阶线性方程组 0 01 0 y 0 0 .1 -an(0-an-()-an(0.-a()） f( (5.7) x()= =n n 的初值问题等价。其中x= x= x 事实上，令x=x,为=x,=x,Xn=x x x. 此时， ==2=x”=.,xn=x=x x'=x=-a()x-an(0-a(0x+f) 而且， x（)=x()=n,x(6)=x（()=h2,.,x(o）=-(6)=n. 所以可以看出方程(5.6)与(5.7)形式可以相互转化。 下证初值问题的解是相互等价的。 设w()是包含6的区间a≤1≤b上的(5.6)的解，则y(0,W(),网)在区间a≤1≤b上存在， 连续，满足方程(5.6)且w(化)=7，(G)=n2,.,-()=n.。 g() 令p(0)= %() 其中A(0=(0),g(0)=w(),.,9()=w-()(a≤1≤b), 第3页共16页

第 3 页 共 16 页 与 n 阶线性方程组 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 n n n 5.7 n x x a t a t a t a t f t x t     − −              = +    − − − −             = =               的初值问题等价。其中 1 1 2 2 n n x x x x x x x x             = =                   ，事实上，令 ( 1) 1 2 3 , , , , n n x x x x x x x x − = = = =   此时， ( 1) 1 2 2 3 1 , , , n n n x x x x x x x x x − −    = = = = = =   ( ) ( ) 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n x x a t x a t x a t x f t −  = = − − − − + 而且， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 2 0 0 2 0 0 , , , n n n x t x t x t x t x t x t    − = = = = = =  所以可以看出方程 (5.6) 与 (5.7) 形式可以相互转化。 下证初值问题的解是相互等价的。 设  (t) 是包含 0 t 的区间 a t b   上的 (5.6) 的解，则  (t) ，(t)，.， ( ) ( ) n  t 在区间 a t b   上存在， 连续，满足方程 (5.6) 且   (t 0 1 ) = ，  (t 0 2 ) = ,.， ( ) ( ) 1 0 n n   t − = 。 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n t t t t           =         ，其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 , , , n n       t t t t t t a t b − = = =   

g' ) 9,() v() p() 显然满足p(6)=,且'() '() wa-(） p.( () -a0)a-(0-a.0w)+f 92(t） 9(） -an()g()-a(t)p()+f() (0 标明向量p(是(5.7)的解 0 1 0 0 g()】 0 0 %() 0 0 1 p-( 0 -an(d-an-().-a,(t)-a()八p.()ft) 4() 反之，假设向量u(是在包含。的区间a≤1≤b上是(5.7)的解，u()= 4(t) ,并定义函数 4.(0 o(t)=4,(),由(5.7)的第一个方程，我们得到o(t)=4'(t)=山2(t),由第二个方程得到 o(t)=山'()=4()，由第n-1个方程得到o-()=-(①=山()，由第n个方程得到： o()=4,'()=-a()4()-an()42()-a()4n()-a)）4.()+f) =-a,()o-()-4,0)o-()-a.()o(0+f) 由此即得：o()+a()o-()+a2()o-()+.+an(0o()=f() 同时得到，o()=4()=,0-()=4()=.,这就说明o()是(5.6)的一个解。 由上面的讨论可以知道，(5.6)的初值问题与(5.)的初值问题在下列意义下等价：给定其中的一个初值问 题的解，就可以构造另一个初值问题的解。注意的是，每一个阶线性微分方程可以化为n个一阶线性微 分方程构成的方程组，反之却不成立如方程角：文0上行x侧 就不能化为一个二阶微分方程。 S5.1.2存在唯一性定理 教学目的：掌握线性方程组的存在唯一性定理 第4页共16页

第 4 页 共 16 页 显然满足   (t 0 ) = ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 1 1 n n n n n n t t t t t t t t t t t a t t a t t f t              − −                            = = =                        − − − +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 n n n n n n n t t t a t t a t t f t t t t a t a t a t a t f t t          − −     = − − − +                 = +       − − − −         标明向量  (t) 是 (5.7) 的解。 反之，假设向量 u t( ) 是在包含 0 t 的区间 a t b   上是 (5.7) 的解， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n u t u t u t u t       =         ，并定义函数 (t u t ) = 1 ( ) ，由 (5.7) 的第一个方程，我们得到  (t u t u t ) 1 2 ( ) ( )   = = ，由第二个方程得到  (t u t u t ) 2 3 ( ) ( ),   = = ，由第 n−1 个方程得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n  t u t u t − − = =  ，由第 n 个方程得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 n n n n n n n n n t u t a t u t a t u t a t u t a t u t f t a t t a t t a t t f t     − − − − = = − − − − − +  = − − − − + 由此即得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n n n n     t a t t a t t a t t f t − − + + + + = 同时得到，   (t u t 0 1 0 1 ) = = ( ) ， ， ( ) ( ) ( ) 1 0 0 n n n   t u t − = = ，这就说明  (t) 是 (5.6) 的一个解。 由上面的讨论可以知道， (5.6) 的初值问题与 (5.7) 的初值问题在下列意义下等价：给定其中的一个初值问 题的解，就可以构造另一个初值问题的解。注意的是，每一个 n 阶线性微分方程可以化为 n 个一阶线性微 分方程构成的方程组，反之却不成立。如方程组： 1 2 1 0 0 1 x x x x x      = =         就不能化为一个二阶微分方程。 §5．1．2 存在唯一性定理 教学目的：掌握线性方程组的存在唯一性定理

本节研究初值问题：x=A()x+∫()，x(。)=7(5.S)的解的存在唯一性定理，为了采用逐步逼近法 证明该定理，先引入一些相关概念 1.范数 对于n×n矩阵A=(a,)和n维向量 定义意数为川-之a-2 矩阵或向量的范数具有下面两个性质： (1)A≤4B,A≤A4:(2)A+≤A+B,kx+≤+ 2.收敛性 向量序列{x}, 称为收敛的，如果对每一个i(i=1,2,.,)数列都是收敛的。 x() 向量函数序列{x()},x() x2() 称为在区间a≤1≤b上收敛的（一致收敛的），如果对每一个 (xt(0) i(=1,2,.,n)函数序列{x4()}在区间a≤1≤b是收敛的（一致收敛的）。区间a≤1≤b一致收敛的连 续函数序列{x,()}的极限向量函数仍是连续的。 注：①维氏判别法对于向量函数级数也是成立，即，如果()训sM,a≤1≤b,级数∑M是收 敛的，则∑x()在区间a≤1≤b是一致收敛的。 ②积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，即如果连续向量函数序列{x()}在区间a≤1≤b是一致 收敛的，则im心x)dt-心m()d山 ③上述所谈到的定义和结果，对于一般的矩阵函数序列仍然成立。 定理1（存在唯一性定理）如果A(t)是n×n矩阵，f()是n维列向量，它们都在区间a≤t≤b上连续， 第5页共16页

第 5 页 共 16 页 本节研究初值问题： x A t x f t x t  = + = ( ) ( ), 5.5 ( 0 )  ( ) 的解的存在唯一性定理，为了采用逐步逼近法 证明该定理，先引入一些相关概念。 1．范数 对于 n n 矩阵 ( ij)n n A a  = 和 n 维向量 1 2 n x x x x       =       ，定义范数为： , 1 n ij i j A a = =  ， , 1 n i i j x x = =  矩阵或向量的范数具有下面两个性质： （1） A B A B    ， Ax A x   ；（2） A B A B +  + ， x y x y +  + 2．收敛性 向量序列   1 2 , k k k k nk x x x x x       =         称为收敛的，如果对每一个 i i n ( =1,2, , ) 数列都是收敛的。 向量函数序列  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , k k k k nk x t x t x t x t x t       =         称为在区间 a t b   上收敛的（一致收敛的），如果对每一个 i i n ( =1,2, , ) 函数序列 x t ik ( ) 在区间 a t b   是收敛的（一致收敛的）。区间 a t b   一致收敛的连 续函数序列 x t k ( ) 的极限向量函数仍是连续的。 注：① 维氏判别法对于向量函数级数也是成立，即，如果 ( ) , k k x t M a t b    ，级数 1 k k M  =  是收 敛的，则 ( ) 1 k k x t  =  在区间 a t b   是一致收敛的。 ② 积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，即如果连续向量函数序列 x t k ( ) 在区间 a t b   是一致 收敛的，则 lim lim ( ) ( ) b b k k x x a a x t dt x t dt → → =   ③上述所谈到的定义和结果，对于一般的矩阵函数序列仍然成立。 定理 1 （存在唯一性定理）如果 A t( ) 是 n n 矩阵， f t( ) 是 n 维列向量，它们都在区间 a t b   上连续

则对于区间a≤1≤b上的任何数，及任一常数向量刀 ,方程组(5.4)存在唯一解(0)，定 义于整个区间a≤1≤b上，且满足初始条件p()=7。 思考：将该定理与第三章存在唯一性定理比较，有何不同？ 类似于第三章，我们分五步来证明。 第一步：证明(5.4)的定义于区间a≤1≤b满足初始条件p(%)=7的解等价于积分方程 x()=n+[A()x(s)+f(s),a≤1≤b(5.8) 上的连续解。证明完全类似于第三章，这里略去。 第二步：构造皮卡逐步逼近向量函数序列： [%()=n 9回=n+[4A(+fj]达，a≤sbk=l2.59) 对所有的正整数k,向量函数：()在区间a≤1≤b上有定义且连续。 第三步：证明向量函数序列{网()}在区间a≤t≤b上是一致收敛的。 思路：考察向量函数级数： (0+∑[0(0-]a≤1≤6(5.10) 由于级数的部分和为：风0+2[g,()-P(]=m.0),所以要证明序列{a.()在区间a≤1≤b上 是一致收敛，只需证明级数(5.10)在a≤1≤b上是一致收敛的。因为A()和f()在区间a≤1≤b上是 连续，所以A()训和/()川都在a≤1≤b上有界，则存在常数L>0和K>0,使得 A()训≤L,f(训≤K,a≤1≤b,取M=LW+K,下面只需证明序列{A()}在区间6≤1≤b上 一致收敛，另一区间a≤1≤。上一致收敛可以类似证明。为此，我们进行如下估计， a()-a(川s∫A(s)A(s)+f(s≤∫A(s)a(s+f(sd≤[Lml+K]s=M(t-a) 有数学日瑞法，得路风间-A056-小 第6页共16页

第 6 页 共 16 页 则对于区间 a t b   上的任何数 0 t 及任一常数向量 1 2 n           =       ，方程组 (5.4) 存在唯一解  (t) ，定 义于整个区间 a t b   上，且满足初始条件   (t 0 ) = 。 思考：将该定理与第三章存在唯一性定理比较，有何不同？ 类似于第三章，我们分五步来证明。 第一步：证明 (5.4) 的定义于区间 a t b   满足初始条件   (t 0 ) = 的解等价于积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 5.8 t t x t A s x s f s ds a t b = + +         上的连续解。证明完全类似于第三章，这里略去。 第二步：构造皮卡逐步逼近向量函数序列： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 5.9 , 1,2, t k k t t t A s s f s ds a t b k      −  =   = + +   =        对所有的正整数 k ，向量函数 k (t) 在区间 a t b   上有定义且连续。 第三步：证明向量函数序列 k (t) 在区间 a t b   上是一致收敛的。 思路：考察向量函数级数： 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5.10 j j j    t t t a t b  − = + −       由于级数的部分和为： 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k j j k j     t t t t − = + − =     ，所以要证明序列 k (t) 在区间 a t b   上 是一致收敛，只需证明级数 (5.10) 在 a t b   上是一致收敛的。因为 A t( ) 和 f t( ) 在区间 a t b   上是 连 续 ， 所 以 A t( ) 和 f t( ) 都 在 a t b   上有界 ， 则 存 在 常 数 L  0 和 K  0 ，使得 A t L ( )  , f t K ( )  ， a t b   ，取 M L K = +  ，下面只需证明序列 k (t) 在区间 0 t t b   上 一致收敛，另一区间 0 a t t   上一致收敛可以类似证明。为此，我们进行如下估计， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 t t t t t t      t t A s s f s ds A s s f s ds L K ds M t t −  +  +   +  = −      利用数学归纳法，得到： ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ! k k k k ML t t b t k   − −  − −

由于正项级数兰乞6-是收致银致。所以。Q,0)在区间人1≤6上一致收数。 L台k! 设m()=p(0),所以()也在区间上连续。 第四步：证明p()是积分方程(5.8)定义在区间a≤1≤b上的连续解。对(5.8)两边取极限得到： lime(t)=n+lim[4(s)o(s)+f(s)s=n+limA(s)(s)+f(s) 即：p()=7+∫[A(s)p(S)+f(s)].这就是说，p)是积分方程(5.8)定义在区间a≤1≤b上的 连续解。 第五步：证明唯一性。假设w()也是函数序列{Q:(}在区间a≤1≤b上一致收敛的极限函数 则w()=7+「[A(s)w()+f(s)门还，与第三步的证明的做法一样，进行估计 ，M A)-y05公年6-o“→0k→小.所似aO在as1sb数效于w0.根器极限的 唯一性定理，得到()）=()· S5.2线性徽分方程组的一般理论 教学目的：掌握线性徽分方程组解的结构。 线性微分方程组 x=A()x+f(0(5.1), 如果f()≠0，则(5.1山)称为非齐次线性方程，如果f()=0,则对应方程 x'=A(x(5.12) 称为齐线性方程组，通常情况下称（⑤.12）是(5.11)对应的齐次线性方程组。 5.2.1齐线性微分方程组 定理2（叠加原理）设u()和v(d)是方程(5.12)的任意解，它们的线性组合au()+Bv(d)也是(5.12) 的解，这里α和B是任意实数。 定义1：称定义在区间a≤1≤b上的向量函数x(0),(),x()是线性相关的，如果存在不全为零的 常数C,C,.,Cn,使得恒等式：Cx()+C2()+.+Cnx()=0a≤1≤b成立。否则，称函数 第7页共16页

第 7 页 共 16 页 由于正项级数 ( 0 ) 1 ! k k k M L b t L k  = −  是收敛级数，所以， k (t) 在区间 0 t t b   上一致收敛。 设 lim k ( ) ( ) k   t t → = ，所以  (t) 也在区间上连续。 第四步：证明  (t) 是积分方程 (5.8) 定义在区间 a t b   上的连续解。对 (5.8) 两边取极限得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 lim lim lim t t k k k k k k t t      t A s s f s ds A s s f s ds − − → → → = + + = + +           即： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t    t A s s f s ds = + +      . 这就是说，  (t) 是积分方程 (5.8) 定义在区间 a t b   上的 连续解。 第五步：证明唯一性。假设  (t) 也是函数序列 k (t) 在区间 a t b   上一致收敛的极限函数。 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t    t A s s f s ds = + +      ，与第三步的证明的做法一样，进行估计 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 ! k k k ML t t b a k k   + −  − → →  + ，所以 k (t) 在 a t b   收敛于  (t) 。根据极限的 唯一性定理，得到   (t t ) = ( ) 。 §5. 2 线性微分方程组的一般理论 教学目的：掌握线性微分方程组解的结构。 线性微分方程组 x A t x f t  = + ( ) ( ) (5.11)， 如果 f t( )  0 ，则 (5.11) 称为非齐次线性方程，如果 f t( ) = 0 ，则对应方程： x A t x  = ( ) (5.12) 称为齐线性方程组，通常情况下称 (5.12) 是 (5.11) 对应的齐次线性方程组。 5．2．1 齐线性微分方程组 定理 2 （叠加原理）设 u t( ) 和 v t( ) 是方程 (5.12) 的任意解，它们的线性组合   u t v t ( ) + ( ) 也是 (5.12) 的解，这里  和  是任意实数。 定义 1：称定义在区间 a t b   上的向量函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是线性相关的，如果存在不全为零的 常数 1 2 , , , n c c c ，使得恒等式： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t a t b + + + =   成立。否则，称函数

x(,x(),.,x()是线性无关的。 x( （x.( 定义2：设有n个定义在区间a≤1≤b上的向量函数x()= (0 .,x()= x（0由这n个向量 xn() xm() x(tx2(t.xn( 函数构成的行列式W[x(),x(0,.,x(门=W() (0）z)）.n0 称为这些函数的 x(0xn2().x() 伏朗斯基行列式。 定理3：如果向量函数x(),(),x()在区间a≤1≤b是线性相关的，则它们的伏朗斯基行列式 W()=0,a≤t≤b 证明：由假设可知，存在不全为零的常数C,C2,.,c,使得c()+C本()++Cx()=0a≤1≤b 这里将G,C2,Cn看成是未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是 x(),x(),.,x,()的伏朗斯基行列式W(),根据齐次线性方程组的理论知道，要此方程组有非零解， 则它的系数行列式为零，即W(t)=0,a≤1≤b。 定理4：如果(5.12)的解x(,x(,.,x(线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式W(≠0a≤1≤b 证明：采用反证法。设有某一个，a≤。≤b,使得W()=0。考虑下面的齐次线性代数方程组： 9(6)+c()++cx()=0(5.13) 它的系数行列式就是W(,),因为W(G)=0,所以(5.13)有非零解G,c2,.,cm,以这个非零解 G,c2,.,cn构成向量函数x(): x()=cx()+c2x,()+.+cnxn()(5.14) 根据定理2，易知x(是(5.12)的解，再根据条件(5.13)知道这个解x()满足初始条件x(。)=0 但是，在区间a≤1≤b上满足初始条件x(,)=0的解还有向量函数0，由唯一性定理可知，x()=0 即Gix(0+c2x,()+.+cmx()=0a≤1≤b, 又因为c,c2,.,c不全为零，这与x(),x(),.,x()线性无关的假设矛盾，定理得证。 第8页共16页

第 8 页 共 16 页 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是线性无关的。 定义 2：设有 n 个定义在区间 a t b   上的向量函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 21 2 1 1 , , n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t             = =             由这 n 个向量 函数构成的行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t         = =           称为这些函数的 伏朗斯基行列式。 定理 3：如果向量函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b   是线性相关的，则它们的伏朗斯基行列式 W t a t b ( ) =   0 , 证明：由假设可知，存在不全为零的常数 1 2 , , , n c c c ，使得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t a t b + + + =   这里将 1 2 , , , n c c c 看成是未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 的伏朗斯基行列式 W t( ) ，根据齐次线性方程组的理论知道，要此方程组有非零解， 则它的系数行列式为零，即 W t a t b ( ) =   0 , 。 定理 4：如果 (5.12) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式 W t a t b ( )    0 证明：采用反证法。设有某一个 0 0 t a t b ,   ，使得 W t( 0 ) = 0 。考虑下面的齐次线性代数方程组： c x t c x t c x t 1 1 0 2 2 0 0 ( ) + + + = ( ) n n ( ) 0 5.13 ( ) 它的系数行列式就是 W t( 0 ) ，因为 W t( 0 ) = 0 ，所以 (5.13) 有非零解 c c c 1 2 , , , n ，以这个非零解 c c c 1 2 , , , n 构成向量函数 x t( )： x t c x t c x t c x t ( )  + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) n n ( ) (5.14) 根据定理 2，易知 x t( ) 是 (5.12) 的解，再根据条件 (5.13) 知道这个解 x t( ) 满足初始条件 x t( 0 ) = 0 但是，在区间 a t b   上满足初始条件 x t( 0 ) = 0 的解还有向量函数 0 ，由唯一性定理可知， x t( )  0 即 1 2 1 2 ( ) ( ) n ( ) 0 n c x t c x t c x t a t b + + +    ， 又因为 c c c 1 2 , , , n 不全为零，这与 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性无关的假设矛盾，定理得证

根据定理3和定理4可知，方程(5.12)的n个解x(),x3(),x,()作成的伏朗斯基行列式W()或者 恒等于零，或者恒不等于零。 定理5(5.12)一定存在n个线性无关的解x(),x(,x（。 证明：任取6∈[a,b小，根据解的存在唯一性定理，方程(5.12)分别满足初始条件 1 0 1 x()=0,x()=0.,x()=:的解x(),(),x()一定存在，因为这n个解的伏朗 (0 1 斯基行列式W()=1≠0，根据定理3，x(),x(),.,x()是线性无关的，定理证毕 定理6如果x(t),x2(,.,x(是方程(5.12)的n个线性无关的解，则(5.12)的任一解均可表示为 x()=c()+c()++cx()=0,这里G,G,.,Cn是相应的确定常数。 证明：对任意∈[a,b小，令 x()=Gx(o)+c3(o)++cxn()(5.15) 将(5.15)看作是以G,C,C为未知量的线性代数方程组，而方程组的系数行列式就是W(亿，) 因为x(),x(),x()是线性无关的，根据定理4知道W()≠0，由线性代数方程组的理论，方程 (5.15)有唯一解G,C,.,C。以这组确定了的G,C,.,C构成向量函数G()+Cx,()+.+Cx() 根据叠加原理，她就是(5.12)的解，在看(5.15)可知，(5.12)的两个解x(0)和 G(C)+C2()++Cnx()具有相同的初始条件，由解的唯一性得到： x()=c-x()+c2x()++cx() 定理证毕。 推论1：(5.12)的线性无关解的最大个数等于n。 我们称(5.12)的n个线性无关的解x(),x(,.,x()为(5.12)的一个基本解组，易知，(5.12)具有 无穷多个基本解组。 注1：根据定理5定理6可知，(5.12)的解空间的维数是n。亦即(5.12)的所有解枸成一个n维线性空间。 注2：n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题是等价的，因此，本节的所有理论可以 第9页共16页

第 9 页 共 16 页 根据定理 3 和定理 4 可知，方程 (5.12) 的 n 个解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 作成的伏朗斯基行列式 W t( ) 或者 恒等于零，或者恒不等于零。 定理 5 (5.12) 一定存在 n 个线性无关的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 。 证明：任取 t a b 0  ,  ，根据解的存在唯一性定理，方程 (5.12) 分别满足初始条件 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 , , , 0 0 0 1 n x t x t x t                   = = =                               的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 一定存在，因为这 n 个解的伏朗 斯基行列式 W t( 0 ) = 1 0 ，根据定理 3， x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是线性无关的，定理证毕。 定理 6 如果 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (5.12) 的 n 个线性无关的解，则 (5.12) 的任一解均可表示为 ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n x t c x t c x t c x t = + + + = ，这里 1 2 , , , n c c c 是相应的确定常数。 证明：对任意 t a b 0  ,  ，令 x t c x t c x t c x t ( 0 1 1 0 2 2 0 0 ) = + + + ( ) ( ) n n ( ) (5.15) 将 (5.15) 看作是以 1 2 , , , n c c c 为未知量的线性代数方程组，而方程组的系数行列式就是 W t( 0 ) 因为 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是线性无关的，根据定理 4 知道 W t( 0 )  0 ，由线性代数方程组的理论，方程 (5.15) 有唯一解 1 2 , , , n c c c 。以这组确定了的 1 2 , , , n c c c 构成向量函数 c x t c x t c x t 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 根据叠加原理，她就是 (5.12) 的解，在看 (5.15) 可知， (5.12) 的两个解 x t( ) 和 c x t c x t c x t 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 具有相同的初始条件，由解的唯一性得到： x t c x t c x t c x t ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) 定理证毕。 推论 1：(5.12) 的线性无关解的最大个数等于 n 。 我们称 (5.12) 的 n 个线性无关的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 为 (5.12) 的一个基本解组，易知， (5.12) 具有 无穷多个基本解组。 注 1：根据定理 5 定理 6 可知， (5.12) 的解空间的维数是 n 。亦即 (5.12) 的所有解构成一个 n 维线性空间。 注 2： n 阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题是等价的，因此，本节的所有理论可以

平行推广到n阶线性微分方程上去。 注3：一组n-1次可微的纯量函数x(),x(),x,()线性相关的充要条件是向量函数 x())() x(0） x'(d) x2'(t) x'() x-(八x-( x-( 线性相关 证明：若x(),x(),.,x()相形相关，则存在不全为零的常数C,G,Cn使得 G(+()++cx()=0,上式对1微分一次、二次、.，n-1次，得到 cx'()+cx'()+.+cnxn()=0 Gx"()+cx"()+.+cnxn()=0 Gx-()+cx32-()++cx-(0=0 (x() x(0 x(0 x() (0 即有： +c2 x'() .+C =0(*), x-( x-() xa- 这就是说，向量函数组()是线性相关的，反之，如果向量函数组()线性相关，则存在不全为零的常数 c,C2,.,Cn使得(*)成立，当然有cx()+C3()+.+cnx()=0,则函数组x(d),x(),.,xn() 相形相关。 推论2：如果x(),2(),.,x()是n阶微分方程 x网+a0)x-++a0x=0(5.16) 的n个线性无关解，其中a(),a(),.,a()是区间a≤1≤b上的连续函数，则(5.16)的任一解x(0均 可表示为 x()=c()+C()++cnx() 这里C,C2,.,Cn是相应的确定常数。 第10页共16页

第 10 页 共 16 页 平行推广到 n 阶线性微分方程上去。 注 3：一组 n−1 次可微的纯量函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性相关的充要条件是向量函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 2 m m n n n m x t x t x t x t x t x t x t x t x t − − −                                               线性相关 证明：若 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 相形相关，则存在不全为零的常数 1 2 , , , n c c c 使得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t + + + = ,上式对 t 微分一次、二次、 , 1 n − 次，得到 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t    + + + = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t    + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 0 n n n n n c x t c x t c x t − − − + + + = 即有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 0 m m m n n n m x t x t x t x t x t x t c c c x t x t x t − − −                      + + + =                          ， 这就是说，向量函数组 () 是线性相关的，反之，如果向量函数组 () 线性相关，则存在不全为零的常数 1 2 , , , n c c c 使得 () 成立，当然有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t + + + = ，则函数组 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 相形相关。 推论 2：如果 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是 n 阶微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 5.16 n n n x a t x a t x − + + + = 的 n 个线性无关解，其中 a t a t a t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是区间 a t b   上的连续函数，则 (5.16) 的任一解 x t( ) 均 可表示为 x t c x t c x t c x t ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) 这里 1 2 , , , n c c c 是相应的确定常数