新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 高阶微分方程 §4.3 高阶方程的降阶法和幂级数解法

§4.3高阶方程的降阶法和幂 级数解法 主要内容 (一) 可降阶的一些方程类型 (二) 二阶线性方程的幂级数解法 (三) 作业 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 § 4.3 高阶方程的降阶法和幂 级数解法 （一） 可降阶的一些方程类型 （二） 二阶线性方程的幂级数解法 （三） 作业 主要内容

(一)1 可降阶的一些方程类型 阶微分方程的一般形式为 F(t,x,x'.,x)=0 下面讨论三类特殊方程的降阶问题 1). Ft,x,xk+",x0)=01≤k≤n (4.57) 此方程的特点是不显含x,x,x,最低阶导数为k阶， 令x()则x+=y',x+)=y”,xm=ym-) 测方程降为关于y的n-k阶方程. F(t,y,y',.()=0 (4.58) 如果能够求得方程(4.58)的通解 y=(t,c1,C2.C(n-k)) 即xk=p(t,C1,C2,Cm-k) 再经过k次积分得到 x=(t,cc2.,c) C,C,Cn为任意常数.可以验证，这就是方程(4.57)的解. 结束 精助必上一贡返回下一页<目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 n阶微分方程的一般形式为 下面讨论三类特殊方程的降阶问题 ( ) ( , , ., ) 0 n F t x x x  = ( ) ( 1) ( ) 1). ( , , ,., ) 0 1 (4.57) k k n F t x x x k n + =   此方程的特点是不显含 ,最低阶导数为 k阶, ( 1) , ,., k x x x −  则方程降为关于 的 阶方程. y n k −  1 2 ( , , ., ) n x t c c c = ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 令x t x y x y x y k k k n n k ( ) , ,., ，则 + + − = = =    1 2 ( ) ( , , ., ) n k y t c c c = − ( ) ( , , ,., ) 0 (4.58) n k F t y y y −  = 如果能够求得方程 (4.58) 的通解 再经过k次积分得到 （一） 可降阶的一些方程类型 ( ) 1 2 ( , , ., ) k n k 即 x t c c c = − 1 2 , ,., 为任意常数.可以验证，这就是方程(4.57)的解. n c c c

(因为x()=(t,C1,C2,Cn-k）.'=xk+,”=xk+2.,0m-0=xm F(t,pk),k+,pm)=F(t,p,p',p-)=0 ∴.x=p(t,C1,C2,Cn)为方程的解.) 对于二阶方程， F(t,x'x"=0令x'=y→Ft,yy)=0 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页     ( 1) ( 2) ( ) ( ) 1 2 . ( ( ) ( , , ,., ) , ., 因为 k k n k n n k x t t c c c x x x + + − − = = = =         ( ) ( 1) ( ) ( ) ( , , ,., ) ( , , ,., ) 0 k k n n k F t F t + − = =   1 2 ( , , ,., )  = x t c c cn 为方程的解.) 对于二阶方程, F t x x x y F t y y ( , . ) 0 ( , . ) 0     = = = 令 

例1求方程 dsx Idix =0的通解 tdt 解：令x4)=y,xs) 一在方程化为 y dt 解得ny=lnt+lnc,y=ct,即x4)=ct,积分4次得 x(t)=ct5+c+ct3+ct2+cst 为方程的通解 例2：求方程tc"-2x'=t3+t通解 解：令x=y方程化为，-2y=+1,y-2y=2+1 =产[r+ue*]=r+习+ -1voe =p-tree 即x'=t3-t+c,t2 积分得通解 x(=4 1 t2+t3+c2 4 2 3 结束 上一返同下页< 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 解：令 (4) (5) , 方程化为 dy x y x dt = = dy 1 y dt t = 5 4 3 2 1 2 3 4 5 x t c t c t c t c t c t ( ) = + + + + 为方程的通解 解得 ln ln ln y t c = + , , y ct = 即 (4) x c t = ,积分4次得 例2:求方程 通解 3 tx x t t   − = + 2 解：令 x y  = 方程化为, 3 2 2 ty y t t y y t 2 , 1 t   − = + − = + 5 4 5 4 1 例1 求方程 0的通解 d x d x dt t dt − = 2 2 2 1 ( 1) dx dt t t y e t e dt c   −   = + +      2 2 1 1 t dt c 1 t     = + +          2 2 1 1 t t c t t   = − +     3 2 1 = − + t t c t 3 2 即x t t c t1  = − + 4 2 3 1 2 1 1 ( ) 4 2 3 c x t t t t c = − + + 积分得通解

2)F(x,x,x=0 (4.59) 此方程的特点是左端不显含自变量含x'=y,引进新的未知量 视为自变量，则 -所- dt dx dt -{)©-)是 设x可用y及少， 表出(k≤n) 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ) ( ) 2 ( , ,., ) 0 4.59 ( ) n F x x x  = 此方程的特点是左端不显含自变量t含 ,引进新的未知量 视为自变量,则 x y  = y x dy dy dx dy x y dt dx dt dx  = = = 2 2 2 d dy dx dy d y x y y y dx dx dt dx dx        = = +               2 2 2 2 dy d y x y y dx dx    = +     设 x ( ) k 可用 y 及 1 1 ,., k k dy d y dx dx − − 表出 ( ) k n  1 ( ) 1 即 , ,., k k k dy d y x y dx dx − −   =     

则 x=(xy=. ，dy y=衣 dy dy 所以一般地 将x',x”,xm)的表达式代入(4.59)得 d热一-0 这是关于x,y的n-1阶方程，比原方程低了一阶 结束 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 则 1 ( 1) 1 ( ) , ,., k k k k d dy d y x x y dt dx dx − + −   = =       , ,., k k d dy d y y y dx dx dx   = =       所以一般地 1 1 , ,., n n n n d x dy d y y dt dx dx − −   =      将 x x x   , ,., ( ) n 的表达式代入 (4.59) 得 1 1 , , ,., 0 n n dy d y G x y dx dx − −     =   这是关于 x y, 的 n−1 阶方程 , 比原方程低了一阶

例3：求xx"+(x'2=0的通解 解：令x'=y,则x”= 在y代入所给的方程得 +y2=0→y=0或x少+1=0 dx dr 由y=0得x=c(c为任意常数)为方程的解。 由x少+1=0得到y= dx 1 x'=→，x2=ct+c2 即 2 x2=2ct+2c2 其实此方程可这样解，原方程可化为 （)=0→x=6→2e+e 即x2=2ct+C2为方程的通解 结束☐ 帮助 上一页返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例3： 求 xx x   + = ( ) 0 2 的通解 解：令 x y  = ,则 代入所给的方程得 dy x y dx  = 2 0 0 1 0 或 dy dy xy y y x dx dx + =  = + = 由 1 0 得到 dy c x y dx x + = = 2 1 2 1 2 c x x c t c x  =  = + 2 1 2 x c t c = + 2 2 其实此方程可这样解 , 原方程可化为 ( ) 2 1 1 2 1 0 2 xx xx c x c t c    =  =  + 即 为方程的通解 2 1 2 x c t c = + 2 即 由y x c c = = 0 ( 得 为任意常数）为方程的解

例4：求方程x"-x2-x2x'=0的通解 解：方法一； 令x=y则x=少匹=y少代入方程得 dx dt dx d-y-xy-0 y d 即 ☆=+ 这是一阶线性方程，通解为 dx =[小t+e) 于是 dx =x+x(+)= 两边积分得通解为 1-c2e 结束 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例4:求方程 xx x x x    − − = 2 2 0 的通解 解:方法一; 2 2 0 dy xy y x y dx − − = 即 这是一阶线性方程, 通解为 dy 1 x y dx x = + ( ) 1 1 1 dx dx x x y e xe dx c x x c   −   = + = +      于是 ( ) 2 1 1 dx x x c x dt x x c  = +  = + x y  = dy dx dy x y dx dt dx 令 则  = = 代入方程得 两边积分得通解为 1 1 2 t t c e x c e = −

年g*g0日=* →。[mly-Inlx+c]=t+G→ c-che x+ 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( ) 2 2 1 1 1 dx 1 1 1 t c dx t c x x c c x x c     = +  − = +    + +     1 2 1 1 1 1 ln ln x t x x c t c c e c x c  − + = +  =      + 1 2 1 1 1 2 2 t t t t c c e c e x c e c e  = =   − − 

方法二；方程两端除得 xx”-x2 -x'=0 北2 此方程可写为{任小0 → =t→ x=)=(c=ese:) x(x+c) x+C1 3) d"x (4.2) dt" 如果已知(4.2)的k个线性无关的解，则可由变换x=防程化为 n-k 阶的方程。 设x1,x2,xk是(4.2)的k个线性无关的解。 显然x,≠0，i=1,2,.,k.令x=xy则x=xy+xky' x"=xky”+2kJy'+xKy,x”=xky”+2xJy'+xKy 结束 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 方法二; 方程两端除 得 2 x 2 2 0 xx x x x   − − =  此方程可写为 1 0 d x x x x c dt x x       − = − =    1 2 1 1 2 ) 1 1 ( ) ( ) dx x c t c c t c c （ dt e ce c e x x c x c  + = = = + =  + 1 1 1 1 3) ( ) . ( ) ( ) 0 ( 2 4. ) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt − + + + + = − − 如果已知 (4.2) 的 个线性无关的解 ，则可由变换 将方程化为 阶的方程。 k k x x y = n k − 设 是 (4.2) 的 个线性无关的解. 1 2 , ,., x x xk k 显然 0, 1, 2,., . i x i k  = 令 k x x y = 则 x x y x y k k = +   x x y x y x y      = + + k k k 2 ，x x y x y x y      = + + k k k 2