新疆大学：《概率与数理统计》课程教学资源（作业习题解）综合习题6

综合习题六

1.设总体X~P(2),若样本观测值1，x2,xm,求参数的矩估计 值与最大似然估计值。 解：由题意，X,~P(见)，i=1,2,n其概率函数为 Px,2)= e2,x=0l,2. x! (1)总体一阶原点矩(X)=E(X)=, 用样本一阶原点短=之X,估计总体一阶原点短(X) n i= 即 =2x=x 由此得到入的矩估计量：入=； 见的矩估计值：入=x

值与最大似然估计值。 1.设总体X ~ P(),若样本观测值x1 , x2 ,., xn ,求参数的矩估计 x. ˆ X ; ˆ X X . n X v ( X ) n V ( ) v ( X ) E( X ) , e , x , , . x! P( x; ) X ~ P( ),i , ,.,n. n i i n i i x i = = = = = = = = = =   = = −           的矩估计值： 由此得到 的矩估计量： 即 用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩 ， 总体一阶原点矩 解：由题意， 其概率函数为 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 2

红椒然西数，2-名和。-“名 nL(() d 2x,=n2 =Σx, K网

    − = = e x! ( ) L( ) n xi i 1 2 似然函数： x! e n xi i n    =1 − =   = = = − + − n i i n i i l nL( ) n x l n ln( x ! ) 1 1    0 1 1 = − +  = = n i n xi d d l nL( )    = = n i xi n 1  . ˆ x x n n i  i = = = 1 1 

2.设总体X的概率密度为 f(x;0)= 8-,00。若样本观测值，x2,xn,求参数的矩估计值与 最大似然估计值。 屏ns体均(X)=5X)=a”在=g” 样本一阶原点知=∑X,=又，则

最大似然估计值。 其 中 。若样本观测值 求参数 的矩估计值与 ， 其 它 设总体 的概率密度为      , ,., , , , ( ; ) . x x xn x x f x X 1 2 1 0 0 0 1 2       = − . X ˆ X X X X , n V ( ) v ( X ) E( X ) x dx . n i i 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 − =  = − = = − = = =   = −        样本一阶原点矩 则 解 ： 总体均值

(2)拟然函数(0)=c1=日”丑x”， InL(0)=nin0+(0-1)>inx: g-w0 de 之mx K✉

( ) L( ) x x , i n i n i n i 1 1 1 1 2 − = − = = =   似然函数      . l n x n ˆ l n x n d d l nL( ) l nL( ) nl n ( ) l n x , n i i n i i n i i    = = = = + =  = − = + − 1 1 1 0 1       

3.设总体X服从T分布，其概率密度为 Ba -xa-le-A,x >O; f(x;a,B)=I(a) 0,x≤0， 其中参数a>0,B>0若样本观测值1，x2,xn, (I)求参数a及的矩估计值； (2)已知a=ao,求参数的最大似然估计值。 年X)=EX)-月ae aiaa台e Br(a)B°

已 知 ，求参数 的最大似然估计值。 求参数 及 的矩估计值； 其中参数 若样本观测值 设总体 服 从 分 布 其概率密度为               0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 3 =          = − − ( ) ( ) , . , ,., , , , , ; ( ; , ) ( ) . , n x x x x x x e x f x X   . ( ) ( ) t e dt ( ) e dt t ( ) x e dx ( ) x e dx ( ) v ( X ) E( X ) t t x t x x                              = + = =          = = = =     + − + − = + − + − 1 1 1 0 0 0 0 1 令 解 ：

B'r(a)B2 得方程组如下： nx? 2 (x,- 62 B i= n i=l ∑(x,-x

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 1                                 + = + = =          = = = =     + + − + − +  = + + − + + − t e dt e dt t x e dx v X E X x e dx t t x t x x 令 得方程组如下：          = − = = − =         = + =    = = = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1          ~ x ( x x ) nx ˆ ~ x ( x x ) nx ˆ x n ( ) x n i i n i i n i i

(2)已知a=a,求参数的最大似然估计值。 IT(a/n若 inL(B)=na,inB-ninr(a)(nxB 2-分-之-=-受 dβ

. x ˆ x n d d l nL( ) l nL( ) n l n nl n ( ) ( ) l n x x x e [ ( )] x e ( ) L( ) ( ) n i i n i i n i i x i n i n n x i n i i i 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0                                = − =  = = − + − − = = =    = = = − − = − − = 已 知 ，求参数 的最大似然估计值

4.设总体X~e(2),其中元>0，抽取样本X1,X2,Xm,证明： (1)虽然样本均值齪是的无偏估计量，但盛却不是的无偏 估计量2)统计量”，x是2的无偏估计量。 n+l 证明：1)E(X)=之E(X,)=元， n i=1 因此样本均值X是入的无偏估计量，但 E(X2)=D()+IE(X)/2 =空x及="对不是的无偏传计要。 2)EEX)= 故统计量”X是的无偏估计量。 n+1

估计量； 统计量 是 的无偏估计量。 虽然样本均值 是 的无偏估计量，但 却不是 的无偏 设总体 其 中 抽取样本 证明： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 0      X n n X X X e X X Xn +  ( ) ( ) . ~ ( ), , , ,., , 故统计量 是 的无偏估计量。 不 是 的无偏估计量。 因此样本均值 是 的无偏估计量，但 证 明 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1        X n n E( X ) . n n X n n ( )E n n X n D E( X ) D( X ) [ E( X )] X E( X ) , n : ( )E( X ) n i i n i i + = +  =      + + + =         = = + = =   = =

5.从总体X中抽取样本X,X2,Xn,确定常数c的值，使得 6=c2(x4-X) i=l 是总体方差。的无偏估计量。 证明：E(6)=c2E(X-X,月 =c2[E(X)-2E(X)E(X)+E(X?] =2c2[E(X)-E(x小-2c(n-1)o. 故C= 2(n-1)

是总体方差 的无偏估计量。 从总体 中抽取样本 确定常数 的值，使得 2 1 1 2 1 2 5 1 2    − = = + − n i i i n c X X X X X X c ˆ ( ) . , ,., ,     . ( n ) c c E( X ) E( X ) c( n ) . c E( X ) E( X )E( X ) E( X ) : E( ˆ ) c E( X X ) n i i i n i i i i i n i i i 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 − = = − = − = − + = −    = + = + + − = + 故 证 明  