随机事件与概率 1.掷3枚硬币，求出现3个正面的概率 解：设事件A=出现3个正面) 基本事件总数”=2，有利于A的基本事件数mF1,即A为一基本事件， 则0-兰立专0s 2.10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率. 解：设事件A=能打开门)，则A为不能打开门 基本事件总数m=C品，有利吁五的基本事件数ma=C, P④=登=0467，因此P④=1-P团=053 5.N个产品中有M个次品，从中任取”个(1<<M≤M,求其中有)个次 品的概率 解设Ak为有k个次品的概率，-0,1,2，.2， 基本事件总数m=C%,有利于事件4k的基本事件数m=C%C,-0,1,2.2, 因P4)贤空太=0ln C 6.一个袋内有5个红球3个白球，2个黑球，计算任取3个球恰为一红，一白， 黑的概率. 解：设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件， 则基本事件总数n=C品，有利于A的基本事件数为#4=CCC, 则P=4.CCC-025 C
?.两封信随机地投入四个邮简，求前两个邮简内没有信的概率以及第一个邮 简内只有一封信的概率， 解设A为前两个邮简没有信的事件，B为第一个邮简内只有一封信的事件 则基本事件总数m=4×4=16,有利吁A的基本事件数m4=2×2=4, 有利于B的基本事件数mg=2×3=6 则P周=片=6-025，P=片-名-名-035 41 8.一批产品中， 二，三等品率分别为0.8,0.16,0.04，若规定一，二等品为合 格品，求产品的合格率 解：设事件A1为一等品，为二等品，B为合格品，则P4=0.8,()=0.16, B=A+4血，且A与A2互不相容，根据加法法则有 PB)=PLA+PA2)=0.8+0.16=0.96 9.袋内装有两个5分，三个2分，五个一分的硬币，任意取出5个，求总数超 过一角的概率 解：假设B为总数超过一角，A为5个中有两个5分，A2为5个中有一个5分 三个2分一个1分，A3为5个中有一个5分两个2分两个1分，则B=A++出，而 A1A2,43互不相容 基林事件总数m=C-0智-31x6x7=25 段有利FA血的基本事件数为四 m=CiCi=56,m2=CCC =10,m=CiCiC3=60, P)=+9t-2g=05 252 10.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A)的概率为 4/15,刮风（用B表示）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求PA PBL角.PA+ 解根据题意有PA)=4/15,PB)=715,PAB)-=110,则 PA-025 r4月增-0288- ,41-19 PAtB)=PA+P心)-P4B)=5+51030
求 ()发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率 ②)B失灵的条件下，A有效的概率 解：设A为系统A有效，B为系统B有效，则根据题意有 FA0=0.92,PB)=0.93,P(B1A)=0.85 (1)两个系统至少一个有效的事件为4什B,其对立事件为两个系统都失效， 即A+B=A五，而P(1A)=1-P(B1A)=1-0.85=0.15,则 P(aB)=P(A)P(B1A)=Q-092)×0.15=0.08×0.15=0.012 P(A+B)=1-P(AB)=1-0.012=0.988 (②)B失灵条件下A有效的概率为P(A1B),则 P4月=1-a-1-1-90=09 P(B) 1210个考签中有4个准签3人参加抽签考试不重复地抽每人一次甲先，乙次 3人 而由 1=10-号-品：)-81-音*号治 A固)-PP1-品x号0：Pa5)-ara1A)-品×号-碧 由干A与A互不相容，且构成完备事件组，因此B=AB+AB可分解为两个互不相容事件 的并则有6)=P代4)+P6)=12+24_36.4 909010 又因AB,AB,AB,AB之间两两互不相容且构成完备事件组，因此有 C=ABC+ABC+AC+AC分解为四个互不相容的事件的并，且 P代AB-P)C1A)-×8720 0412 ABC)-P(AB)P(CAB)-90720 C)-P(ABQ+P(ABC)+P(ABC)+P(E- 因此有P-P-C,证毕
12.用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为 0.5.03.0.2.各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94.0.9.095 求全部产品中的合格率 解设A142A零件由第1,23个机床加工，B为产品合格， A1,A2A3构成完备事件组.则根据题意有F41)=0.5,P(2)-0.3, P4=0.2 BA)=0.94,F42)=0.9,P(B4)=0.95,由全概率公式，得全部产品 的合格率P()为 P6)=2P4PB1A)=05x0.94+03x09+02x095=093 14.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱100 个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率是0.05，求 (1)任取一箱，从中任取 为废品的概率 (②)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率 解：(1)设B为任取一箱，从中任取一个为废品的事件 设A为取到甲厂的箱，则A与A构成完备事件组 PL网-8=06，P心闭-8=04，P10=06,P雨=0s P(B)=P4)P(B14A)+P(A)PB1A)=0.6×0.06+0.4×0.05=0.056 ②)设B为开箱混放后任取一个为废品的事件 则甲厂产品的总数为30×100=3000个，其中废品总数为3000×0.06=180个 乙厂产品的总数为20×120=2400个，其中废品总数为2400×0.05=120个 180+120 300 因此PB)=300+2400-540=00s5555
13.12个乒乓球中有9个新的3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第 二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率 解设4041出43为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球，A山，AA3构成完备事件组 设B为第二次取到的3个球中有2个新球则有 P4)=等 c20 1w答营答-是a11器-告 C2441 Pa)-三-P814-g-是 CG222 根据全概率公式有 Pn间-含e1六品+品费+留器+器是0s 15.一个机床有13的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A 时，停机的概率是0.3，扣工零件B时，停机的概率是04，求这个机床停机的 概率. 解：设C为加工零件A的事件，则C为加工零件B的事件，C与C构成完 备事件组 设D为停机事件，则根据题意有FC=1/3,P(C)=2/3,F(D1C=0.3 PD1C)=04, 根据全概率公司有 PD=P9PD1G+P©PD1C)=3X03+号x04=0,367
16.甲，乙两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲 机器制造出的零件废品率为1%，乙机器制造出的废品率为2%，现有同一机器 制造的一批零件，估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制 造的可能性大一倍，今从该批零件中任意取出一件，经检查恰好是废品，试由 此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率 解：设A为零件由甲机器制造，则A为零件由乙机器制造，A与A构成完 备事件组 由PA什A)=FA)+P(A)=1并由题意知PA)=2PA),得PA0=1B, PA)=2/3. 设B为零件为废品，则由题意知P(B4④=0.01，P(BA)=0.02, 则根据贝叶斯公式，任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概 率为 P(A)P(BIA) 3x001 PL4}风网P60+P网PT面X01+号x02 8g-o2 17.有两个口袋甲袋中盛有两个白球，一个黑球乙袋中盛有一个白球 两个黑球由甲袋中任取一个球放入乙袋再从乙袋中取出一个球，求取到白 球的概率 解：设事件A为从甲袋中取出的是白球，则万为从甲袋中取出的是黑球 A与A构成完备事件组.设事件B为从乙袋中取到的是白球 则PA0=23,A)=13,P8A=24=1/2,PBA）=14, 则根据全概率公式有 P=P0Pe14+PE国Pe1团-子5047
18、上题中若发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋的球 黑白哪种颜色可能性大？ 解事件假设如上题，而现在要求的是在事件B已经发生条件下，事件A 和万发生的条件概率F代AB)和P代A1)哪个大，可以套用贝叶斯公式进行计算 而计算时分母为P氏)已上题算出为0.417，因此 PA=P0B4-08,Pa1=PaP61-02 P(B) P(B) P代A)>P代AB),因此在乙袋取出的是白球的情况下，甲袋放入乙袋的球 是白球的可能性大 19.假设有3箱同种型号的零件，里面分别装有50件，30件和40件.而 等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零 件第一次取到的零件不放回).试求先取出的零件是一等品的概率，并计算两 次都取出一等品的概率 解称这三箱分别为甲，乙，丙箱，假设A1,A2,43分别为取到甲，乙，丙箱的事 件，则A1A2A3构成完备事件组.易知PA1=PA)=PA)=1/3.设B为先取出的是 一等品的事件 则P14-8=04,P4-品-04，P141-2沿=6 根据全概率公式有 P8)=2PAPG1A)=04+04+0.6=0467 3 设C为两次都取到一等品的事件，则 c-爱-01sLPc4-爱=0157c1-爱-0s 根据全概率公式有 P9-24PC14)-0151+o157+0358-02 3
20.发报台分别以概率0.6和04发出信号“·”和“一”由于通信系统 受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8及02收到信息“·” —?又当发出信号“一时，收报台分别以概率09及01收到信号“一 及“·：求当收报台收到“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收 到“一”时，确系发出“一”的概率。 解：设A为发出信号“·？则A为发出信号“一？则A与A构成完备事 件组，且有 P氏A)=06,代A)=0.4。设B为收到信号“·”则万为收到信号“一”根 据题意有 F氏B4=0.8,P8A)=0.1,PEA0=0.2,P(E1A)=0.9 因此，根据贝叶斯公式，当收到“·”条件下发报台发出“·”的概率为 PLAP(BLA 0.6x0.8 P41月=PWPB9+P0AB1雨06x08+04xo1=0923 而当收到“一”条件下发报台发出“一”的概率为 P(A)P(E IA) 0.4×0.9 Pa11=PWPB|0+动PB06x02+0Ax090西 21.甲，乙两人射击，甲击中的概率为0.6，乙击中的概率为0.7，两人同时 射击，并假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中把的概率，（②）甲中乙不中的 概率：（③）甲不中乙中的概率 解：设事件A为甲，事件B为乙击中，则A与B相互独立 PA)=0.6,PE=0.7 (1)两人都中靶的概率PAB)=FPPB)=0.6x0.7=0.42 (②)甲中乙不中的相概率P(AB)=P(4)1-P(B)引-0.6×0.3=0.18 (3)甲不中乙中的概率P(AB)=1-P401P(B)=0.4×0.7=0.28
22.从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进.若总机打通 的概率为0.6，车间分机占线的概率为0,3，假定二者是独立的.求从厂外向该 车间打电话能打通的概率 解：设事件A为总机打通，B为车间分机占线，则A与B相互独立， A)=0.6,PB) 则厂外向该车间打电话能打通的概率为 P(AB)=P0PB)=P41-P(B1=0.6×0.7=0.42 23.加工一个产品要经过三道工序，第一，二，三道工序不出废品的概率分 别为0.9,0.95.08，若假定各工序是否出废品为独立的.求经过三道工序而不 出废品的概率 解：设事件A,B,C为经过第一，二，三道工序不出废品，则A,B,C相互独立 且有 P(A)=0.9,PB=0.95,PC=0.8,经过三道工序而不出废品的概率为 FABC=A)P(aFC=0.9×0.95×0.8=0.684 25.造一种季件可采用两种工艺第一种工艺有三道工序，每道工序的废品率分别为 0.1,02,03,第二种工艺有两道工序，每道工序的废品率都是03，如果使用第一种 合格季件中，一级品率为0.9，而用第二种工艺，合格品中的一级品率只有08，试问哪一种工 艺能保证得到一级品的概率较大？ 解)计算第一种工艺的一级品率。设A14h色为经过第一，二三道工序时出废品，B为 产品合格，C为产品为一级品则A,也A相互独立B=AAA,并有 代A0=0.1,氏o=0.2,FA=0.3,FC1=0.9, PB)=P(4)P(A)A)=1-P(40-P(A4l-P(A)=09×08×0.7=0.504 P(C P(] 则第一种工艺的一级品率为PYC)=PB)P兴C1B)=0504x09=04536 品彩新花缸的经品界时也底品，B为产品合格C为广品为一极品 则A,h相互独立B=AA,并有 RA)=P(A2)=03,RC1B=08,P(B)=P(A)P(A)=[1-P(A)-P(A)=049 因B3C,因此BC-C则rC1周-P59.Pg P(B)P(B) 因此第二种工艺的一级品率为PC)=B)CB=049x0.8=0392 因此，第一种工艺的一级品率0.4536要大于第二种工艺的一级品率0.392
26.3人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,14， 问能将此密码译出的概率是多少？ 解设A8,C为各个人译出密码，则A,BC相互独立，且有 FA)=1/5,F代)=13，PC-14,因此，将密码译出的概率为 P(A+B+C)=1-P(A)P()P(C)=1-[1-P(A)I1-P(B)1-P(C)] =1-(1-1151-1/31-114)=0.6 27.电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用 1000小时后，最多只有一个坏了的概率. 解：在此贝努里试验概型中，设事件A为灯泡损坏，则事件A发生的概率 p=1-0.2=0.8,试验次数=3，设事件B为最多只有一个坏，因此 P(6)=P,间)+20)=0.22+3×0.22×0.8=0.008+0.096=0.104