1.设X是随机变量且 EX)=4,DX)=o(,o>0),则对任意常数c, ()成立。 A.E(X-e)2=EX2-c2 B.E(X-c)2=E(X-u) C.E(X-c)<E(X-u)2 D.E(X-c)2E(X-H)2 [答案选：D] 解答：由E(X)=4,DX)=o2,得 EX2=DX)+(EX)2=o2+2 .E(X-c)2=E(X2-2cX+c2) EX2-2cEX+c2 =o2+42-2c+c2=o2+(4-c)2 E(X-)2=E(X2-2X+n2) =EX2-2EX+2 =o2+2-22+42=02 显然E(X-c)2≥E(X-)2 2.设x与y独立且同分布， X-Y=U,X+Y=V,则U与V必()。 4.不独立 B.独立 c.相关系数不为零D.相关系数为零 [答案：选D]
1． 设 X 是随机变量且 ，则对任意常数 ， （ ）成立。 [答案 选： ( ) ) ( , 0) 2 E X = µ X = σ µ σ > 2 2 A. E(X = EX − c B. E 2 C. E(X < E(X − µ) D. , D( 2 − c) 2 − c) c 2 2 2 (X − c) = E(X − µ) 2 E(X − c) ≥ E(X − µ) D ] 解答：由E(X) = µ, D(X) = σ2 ，得 2 2 2 X) + (EX) = σ +µ ) ( 2 2 2 2 = E X − cX + c 2 EX = D( ∴E(X − c ) 2 c) ) 2 2 2 2c c ( cEX c − + = + + µ σ µ ( 2 2 2 = E X − µX + µ 2 2 2 2 2µ µ σ µ µ − + = EX + 2 2 2 EX 2 = + = − σ µ E(X − µ) 2 2 2 2 = σ + µ = EX − − 2 显然 2 2 E(X − c) ≥ E(X − µ) 2． 设X 与Y 独立且同分布, X − Y = U, X + Y = V ，则U 与V 必（ ）。 A.不独立 B .独立 C .相关系数不为零 D .相关系数为零 [答案：选D ]
解答：由x与y相互独立且同分布，可知 EX=EY,DX=DY且D(X±Y)=D(X)+D(Y)由 DX=EX2 -(EX),DY=EY:-(EY)2 DX=DY,EX=EY得：(EX)2-(EY)2=0,EX2-EY2=0 由X-y=U,X+y=y,得UW=X2-Y2且 EU=E(X-Y=EX-EY,EV=E(X+Y)=EX+EY DU D(X-Y)=DX+DY.DV =D(X+Y)=DX+DY E(UV)=E(X2-Y2)=EX2-EY2=0 EUEV=(EX-EY(EX+EY)=(EX)2-(EY)2=0 .Cov(U,V)=E(UV)-EUEV =0 .p= Cov(U,V)=0 D(UDV) 3.设随机变量X,X,X,相互独立且 X1~UI0,6]X2~N(0,2),X3~P(3),若 Y=X1-2X2+3X3,则D(Y)=()。 解： [答案填：46] 由X~U0,可知DX)-26-0=3,由 X2~N(0,2),可知D(X2)=22=4;由X3~P3), 可知D(X,)=3 :X,X2,X,相互独立 ∴.D)=DX-2X,+3X)=DX)+4DX,)+9DX) =3+4×4+9×3=46
解答：由X 与Y 相互独立且同分布，可知 EX = EY, DX = DY 且D(X ± Y) = D(X ) + 2 2 EY − (EY) D(Y )由 2 , 且 EY 2 DX = EX − ) DY DX DY (EX EX = = , = X Y U V 得：( 由 0 2 ) ( ) 0, = 2 2 EX − EY = EX 2 −EY − = X + Y = EU E X , Y ，得UV = X 2 − Y 2 且 = ( − = EX − EY EV = E X + Y = EX + EY DU D X , ( ) DV D X Y DX ) Y = ( − = DX + DY = + = + DY ( ) 2 E UV = E Y EUEV = (EX EY EX ( , ) ( , ( ) 0 2 2 = EX − EY = ) ( ) ( ) 2 2 EY = EX − EY 0 ) (X − 而 ) 2 + − )( ) = 0 ∴Cov U V = E UV − EUEV = 0 ( ) , = = ( ) ) ( ∴ D D V Cov V ρ U U 3． 设随机变量 相互独立且 ，若 1 2 3 X , X , X 0,2 ), ~ ( 3 2 X P 3 ~ [0,6], ~ ( 3) X1 U X2 N Y = X1 − 2X2 + 3X ，则D(Y ) = （ ）。 解： [答案 填：46] 由 X1 ~ U[0,6]，可知 (6 0) 3 12 1 ( ) 2 D X1 = − = ( ) 2 4 2 X2 = = X3 ，由 ，可知 ；由 ， 可知 ~ (0,2 ) 2 2 N ( ) 3 X D ~ P(3) D X = 3 1 2 3 X , X , X 3 4 4 ( ) ( 1 = + × ∵ 相互独立 46 ) ( ) 4 ( ) 9 3 1 2 9 3 2 × ( )3 3 = 2 + ∴DY = D X − X + X =D X + D X + D X
4.设随机变量x与y相互独立，均在区间 几，3]上服从均匀分布，引进事件 A={X≤a吲，B=X>a;且P4+)=。求： (1)a值：(2)文的数学期望。 解：(1)由X与Y在，3]上均服从均匀分布， 1 可知X~fx)={2 ,1≤x≤3 0，其它 1 y~f)=2 ,1≤y≤3 0, 其它 当aa)=1-PW≤a)=1-∫f0=1-j0d-1-0=1 由随机变量x与r相互独立，可知事件
4． 设随机变量 与Y 相互独立，均在区间 上服从均匀分布，引进事件 X [1,3] A = {X ≤ a}，B = {X > a}且 9 7 P(A + B) = 。求： （1） a 值；（2） X 1 的数学期望。 解：（1）由 X 与Y 在[ 上均服从均匀分布， 可知 1,3] ≤ ， ， 0 2 1 x ≤ = 其它 1 3 X ~ f (x) ， = 0 2 1 ( y) a) ≤ 其它 x) ≤ ≤ y f ( (Y ， ， = 0∫ −∞ a dx 1− 1− ∫ −∞ a f 3 dx ) 1 ∫ +∞ −∞ P Y ~ a P(A) P(B) f 当 时 由随机变量 与Y 相互独立，可知事件 = 0 ( y)dy ) = X = a = = 1− 0 = 1− 0 = 1 ∫ −∞ a dy
A={X≤a}与B={X>a;也是相互独立的。 .P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0+1-0x1=1与 P4+)=号相矛盾，因而a≥1。 当a≥1时，P(4)=P(X≤a)=∫fx)d PB)-pY>a)-1-PY5a-1-1-1-(a- P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =a-0+1-a-)-a-0x-a-W-g 即2-36a+35=0,即a-或a-} x 2 0Y≤k 5. 设Y~E0且X=iY>k k=1,2),求： (1)x,与x,的联合概率分布：(2)E(X1+X2)。 解：1)由E0,可知o-已1 由x-87=a,得-日7 0Y≤1 0Y≤2 X2=1Y>2
A = {X ≤ a}与B = {X > a}也是相互独立的。 ∴ P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0 +1− 0×1 = 1与 9 7 + B) = ≥ 1 P(A a 相矛盾，因而 。 当 时， a ≥ 1 ∫ −∞ = a P(A) = P(X ≤ a) f (x)dx ( 1) 2 1 2 1 2 1 0 1 1 1 = + = = − ∫ ∫ −∞ dx dx x a a a ( 1) 2 1 1 2 1 ( ) = ( > ) = 1− ( ≤ ) = 1− ( ) = 1− = − − ∫ ∫ −∞ P B P Y a P Y a f y dy dy a a a P(A B) P(A) + P(B) − P(A)P(B) 1 + = ( 1) 2 1 = a − ( 1) 2 1 +1− a − − ( −1)× 2 1 a ( 1)] 2 1 [1− a − 9 7 = 9 36 35 0 2 即 a − a + = ，即 3 5 a = 或 3 7 a = （2） ln3 2 1 ln 2 1 2 1 1 ( ) 1 ) 1 ( 3 1 3 1 = = × = = ∫ ∫ +∞ −∞ dx x x f x dx X x E 。 5． 设 且 ，求： （1）X 与 的联合概率分布；（2）E Y ~ E(1) X 2 = > ≤ = ( 1,2) 1 0 k Y k Y k X k ( 1 X1 ) + X 2 。 解：（1）由 ，可知 由 ，得 ， Y ~ E(1) = > ≤ (k 1 Y k Y k > ≤ 2 2 − > ≤ = − 1 1 0 1 ( ) e y y F y y > ≤ = 1 1 0 1 1 Y Y X = ,2) 1 0 Xk = 1 0 2 Y Y X
.P(X,=0,X,=0)=P(Y≤1，Y≤2)=PY≤1)=FI)=1-e1 P(X1=0,X2=1)=P(Y≤1，Y>2)=0 P(X1=1,X2=0)=P(Y>1,Y≤2)=P11,Y>2)=P(Y>2) =1-PY≤2)=1-F(2)=1-(1-e2)=e2 (2)又 PX1=0)=PX,=0,X2=0)+PX1=0,X2=1)=1-e PX,=)=PX=l,X2=0)+P(X=l,X2=)=e PX2=0)=PX1=0,X2=0)+P(X1=1X2=0)=1-e2 P(X2=1)=P(X,=0,X2=1)+P(X1=1,X2=1)=e2 ∴.E(X)=0x(1-e1)+1xe1=e E(X2)=0×(1-e2)+1×e2=e2 .E(X,+X,)=E(X,)+E(X,)=e1+e2. 6. 设商店经销某种商品的每周需求量x服 从区间0,30上的均匀分布，而进货量为 区间o.30中的某一个整数，商店每售一 单位商品可获利500元，若供大于求， 则削价处理，每处理一单位商品亏损 100元，若供不应求，则从外部调剂供 应，此时每售出一单位商品仅获利300 元，求此商店经销这种商品每周进货量 为多少，可使获利的期望不少于9280 元
1 ( 1 0, 2 0) ( 1, 2) ( 1) (1) 1 − ∴P X = X = = P Y ≤ Y ≤ = P Y ≤ = F = − e P(X1 = 0, X 2 = 1) = P(Y ≤ 1,Y > 2) = 0 2 1 1 1 2 (2) (1) (1 ) (1 ) ( 1, 0) ( 1, 2) (1 2) − − − − = − = − − − = − 2 = = = > ≤ = > = > P Y F e e P X X P Y Y P Y 1 ( 1 0) ( 1 0, 2 0) ( 1 0, 2 1) 1 − P X = = P X = X = + P X = X = = − e 1 1 1 2 1 2 ( 1) ( 1, 0) ( 1, 1) − P X = = P X = X = + P X = X = = e 2 2 1 2 1 2 ( 0) ( 0, 0) ( 1, 0) 1 − P X = = P X = X = + P X = X = = − e 2 2 1 2 1 2 ( 1) ( 0, 1) ( 1, 1) − P X = = P X = X = + P X = X = = e 1 1 1 ( 1 ) 0 (1 ) 1 − − − ∴E X = × − e + ×e = e 2 2 2 ( 2 ) 0 (1 ) 1 − − − E X = × − e + ×e = e 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) − − ∴ E X + X = E X + E X = e + e X 10,30] 10,30] （2）又 。 6. 设商店经销某种商品的每周需求量 服 从区间[ 上的均匀分布，而进货量为 区间[ 中的某一个整数，商店每售一 单位商品可获利 500 元，若供大于求， 则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元，若供不应求，则从外部调剂供 应，此时每售出一单位商品仅获利 300 元，求此商店经销这种商品每周进货量 为多少，可使获利的期望不少于 9280 元
解：设一商店经销某种商品的每周进货量为 a且10≤a≤30当10≤X≤a时， L=500X-100(a-X)=600X-100a当a≤X≤30 时，L=500a+300(X-a)=300X+200a即 L= 600X-100a 10≤X≤a 300X+200a a≤X≤30 1 且X~)=20 ,10≤x≤30：.E)=/f0h 10 其它 =(600x-100a) 0+je0x+2a0a2女 =sx2-5ak+汽+10ag =5250+350a-7.5a2 令E(L(X)》=9280,即5250+350a-7.5a2≥9280， 即20号sa≤26，取a=21。 此商店经销这种商品每周进货量为21个单 位，可使获利的期望不少于9280元
解：设一商店经销某种商品的每周进货量为 a且10 ≤ a ≤ 30 当10 ≤ X ≤ a时， L = 500X −100(a − X ) = 600X −100a 当a ≤ X ≤ 30 时，L = 500a + 300(X − a) = 300X + 200a即 且 + − 300 200 600 100 X a X a ≤ ≤ ≤ ≤ 30 10 a X X = a L = 0 20 1 ~ f(x) ≤ ≤ 其它 0 x 30∴ ， ，1 X ∫ +∞ −∞ E(L(X))= L(x)f(x)dx ( ) 2 10 2 10 5250 350 7.5 2 15 15 5 ( 200 20 1 (600 100 ) a a x ax x a dx a a + − − + − ( ( )) 9280 2 30 30 10 ) (300 x ax x a a + + + ∫ ∫ 20 1 a) dx = = = 令E L X = ，即 a − ， 即 .5 9280 2 5250 + 350 7 a ≥ 26 3 2 20 ≤ a ≤ ，取a = 21。 此商店经销这种商品每周进货量为 21 个单 位，可使获利的期望不少于 9280 元
7.设随机变量X和Y的联合分布在以点 (0,1),(1,0),(1,1),为顶点的三角形区域D上服 从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。 解：由条件可知(X,Y)的联合分布密度为： 「2 (X,Y)ED f(x,y)= 10 (X,Y)ED' -了了L2rht k+2 (k=12) 则：0号X-同理，号A) 31 又：月m=道na-2d- 综上可知： X+)-EX)-EX)-E+BX-B0018 8设X~)=e,0<x<+m (1)求E(X),DX): (2)求X与X的协方差且判定二者是否不 相关： (3)判断X与X是否相互独立。 解：(1)由于X的密度为偶函数则E(X)=0, 若设随机变量Y服从参数为1的指数分布， 利用指数分布随机变量的均值及方差的有 关结论不难知：
7. 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点 (0,1),(1,0),(1,1),为顶点的三角形区域 D 上服 从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差。 解：由条件可知(X,Y)的联合分布密度为： ， ∉ ∈ = X Y D X Y D f x y 0 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ∫ ∫− = + = 1 1 , ( 1,2) 2 2 2 x k k k x dydx ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = 1 0 ( ) ( , ) k k E X x f x y dxdy 则： , 2 1 , ( ) 3 2 ( ) 2 E X = E X = 同理， , 2 1 , ( ) 3 2 ( ) 2 E Y = E Y = 又： ∫ ∫ ∫ − = 1 1 1 0 12 5 2 x xydxdy ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ E(XY) = xyf(x, y)dxdy= ， 综上可知： 18 1 D(X [ ( ) ( ) ] 2[ ( ) ( )E(Y)]= 2 2 ) [ ( ) ( ) ] E Y −E Y + E XY −E X 2 2 +Y = E X −E X + 8. 设 , , 2 1 ~ ( ) | | = −∞ < < +∞ = X f x e x x （1）求 E(X),D(X)； （2）求 X 与|X|的协方差且判定二者是否不 相关； （3）判断 X 与|X|是否相互独立。 解：（1） 由于 X 的密度为偶函数则 E(X)=0, 若设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布， 利用指数分布随机变量的均值及方差的有 关结论不难知：
AX)-Jxf@b-Jxed=)-=1+P-2 ·.DX)=E(X2)-[E(XP=2 (2) Co.DEXl-00 ∴p=0,即X与X不相关。 (3)设0<a<+n,则 {IXkac{X<a,.0≤(Xka≤P{X<a<1 从而PX<aPIIXka;<PlXka,但是 P{X<a,lXka}=PXka}则 P{X<a,Xka≠PilXkajP(X<a,即知X与X 不独立。 9设2=写x+7,其中 1 X~N1,32),Y~N0,42bPw=2求： (1)E(Z),D(Z) (2)Pxz; (3)X与Z是否相互独立？为什么？ 解：0)E(2)=5X0+)=5 3 =0+4m +2320oKh 11 =1+4+写Pn000=5+(12=3
∫ ∫ +∞ − +∞ −∞ = = = = + = + = 0 2 2 2 2 2 2 E(X ) x f(x)dx x e dx E(Y ) D(Y) [E(Y)] 1 1 2 x ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 ∴ D X = E X − E X = （2） ∫ +∞ −∞ − = ⋅ − = | | − 0 = 0 2 1 ( ,| |) [ | |] ( ) (| |) | | Cov X X E X X E X E X x x e dx x ∴ ρ = 0，即 X 与|X|不相关。 {| X |< a} ⊂ {X < a},∴0 ≤ P{| X |< a} ≤ P{X < a} < 1 P{X < a}P{| X |< a} < P{| X |< a} P{X < a,| X |< a} = P{| X |< a} P{X < a,| X |< a} ≠ P{| X |< a}P{X < a} Z X Y 2 1 3 1 = + , 2 1 ~ (1,3 ), ~ (0,4 ), 2 2 X N Y N ρ XY = − （3）设 0<a<+ ∞ ,则 从而 ，但是 则 ，即知X与|X| 不独立。 9. 设 ，其中 求： （1）E(Z),D(Z); （2） ρ XZ ； （3）X 与 Z 是否相互独立？为什么？ 解：（1） 3 1 ( ) = 2 1 ( X ) + E Y 3 1 E (Z ) = E ， ) 12 3 2 1 ( 3 1 ( ) ( ) 5 3 1 ( , ) 2 1 3 1 ( ) 2 4 1 ( ) ) = = + ⋅ − ⋅ = = + + ⋅ ⋅ D X D Y D Z D Y CovX Y ρ XY 1 4 ( 9 1 + + D X
(2)Cor(X.Z)-Cor(x.CorX.)+Cor(. D(X)+Cov(X.Y)=0 所以Pz=0 (3)由于X,Z均为正态变量，故独立与不 相关等价，则由pz=0知X、Z独立。 10.假设二维随机变量(X1,X2)在矩形 G={(x,y)川0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分 布，记u=Pr- 「0X≤2Y 1X>2Y (1)求U和v的联合分布； (2)求U和v的相关系数，。 解：由题设可得 1 rx≤n-4,PX>2n PYx (1),)有四个可能取值： y2y P(U=0,V=0)=P(X≤Y,X≤2Y) -PXs)-1 P(U=0,V=1)=P(X≤Y,X>2Y)=0 PU-LV-0-P(X>Y.xs2-PYY.X>2Y)-P(X>2Y)-2 1
（2） ) 2 ) ( , 3 ) ( , 3 2 ( , ) ( , Y Cov X X Cov X X Y Cov X Z = Cov X + = + ( , ) 0 2 1 ( ) 3 1 D X + Cov X Y = 所以 = 0 ρ XZ （3）由于 X,Z 均为正态变量，故独立与不 相关等价，则由 = 0 ρ XZ 知 X、Z 独立。 ( , ) X1 X 2 {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1} > ≤ = X Y X Y U 1 0 > ≤ = X Y X Y 1 2 0 2 r 4 1 ≤ Y) = 2 1 P(X > 2Y) = 4 1 X ≤ 2Y) = (U,V ) 0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 4 1 ( ) 0, 0) ( , 2 ) = ≤ = = = ≤ ≤ P X Y V P X Y X Y = 0,V = 1) = P(X ≤ Y, X > 2Y) = 0 4 1 = 1,V = 0) = P(X > Y, X ≤ 2Y) = P(Y Y, X > 2Y) = P(X > 2Y) = 10. 假设二维随机变量 在矩形 G = 上服从均匀分 布，记 ，V （1）求U 和V 的联合分布； （2）求U 和V 的相关系数 。 解：由题设可得 P(X ， P(Y 2y y x 0 1 1 2 x y
(2)由以上可见Um以及U和v的分布为： w-8a-a-[g时 于是，有U=DU=高r-Dr-4Um Γ41 CoUV)=EU)-EUE1 8 r= CofU,v)1 DU DV 3
（2）由以上可见UV 以及U 和V 的分布为： 1 2 1 2 0 1 UV ~ ， 1 4 4 0 ~ 3 1 U ， 1 2 1 2 0 1 V ~ 于是，有 2 1 , ( ) 4 1 , 2 1 , 16 3 , 4 3 EU = DU = EV = DV = E UV = ， 3 1 ( ) ( ) ( , ) 8 1 ( , )= ( )− = = DU DV CovU V CovU V EUV EUEV , r =