设(X,X2,X)是来自总体N(,o2)的简单随机 样本，x是样本均值，记S2=】2x,-, n-1台 s-2x-,s2x, n i s'=之(X-则服从自由度n-1的分布的随 n台 机变量是T=()。 X-4 X-4 A.S,/n-1 B.5:/n-1 c治 D平4 'S/n [答案：选B] 解答：当s=二2(x-时，服从自由度n-1 n-1台 X-4 的1分布的随机变量应为T=S员 4、由s2=2x,-y=s, n-1台 T=X-F-4 S/Vn-1 S/Vn-1 而不是平-4 S/n B、由 s2=2x-="12x-=n-s n n n-1 n T=平- -4_X-4 S2/n-1S/n-1 S/n
设 是来自总体 的简单随机 样本， ( , , , ) X1 X2 " Xn ( , ) 2 N µ σ X 是样 本均值，记 2 2 1 ∑( ) = − i Xi X 2 1 1 1 − = n S ， 2 2 2 ( ) 1 = Xi n S 2 1 ∑ i= − X ， 2 2 3 S = − µ) 2 1 ( 1 1 ∑− i= Xi n ， 2 2 4 ( 1 = Xi n S 2 1 ∑ i= − µ) 则服从自由度n −1的 分布的随 机变量是 t T =（ ）。 A. 1 S1 − X − µ n B. −1 − n µ 2 X S C. S n X 3 − µ D. n X 4 − µ S [答案：选 B] 解答：当 2 2 1 ( ) 1∑= = − i Xi X 2 S 1 n − 时，服从自由度 的 n −1 t 分布的随机变量应为 T = S n X − µ A、由 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 1 X X S n S i i − = − = ∑= ， 1 1 1 − − = − − = S n X S n X µ µ T 而不是 S n X T − µ = B、由 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 S n n X X n n n X X n n i i i i − − = − ⋅ − = ∑ − = ∑ = = 2 S S n X S n X S n X T n n µ µ − µ = − − = − − ∴ = − 1 1 1 2
设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且 X,.,X,与Y,.,Y,分别是来自总体X,y的简单随 机样本，则统计量U之十服从参数为 ()的()分布。 「答案：填9；t1 解答：由x,y相互独立，均服从N(0,32)分布，又 X,.,X,与Y,.,Y分别来自总体X,Y,可知 X,.,X,与Y,.,Y之间均相互独立，均服从分布 N0,32)因而2X,~N09×3), -g2xN@, YN(O1) ,且：x与空相独 9 ∑x X, X1+.+Xg 立，因而 V2++X2服 从参数为9的t分布。 设(XX,X,X:)是取自正态总体X~N(0,22)的 简单随机样本且Y=a(X,-2X2)2+b(3X-4X4)2,则 a=(),b=()时，统计量y服从x2分布， 其自由度为（。[答案：填站：0：2] 解答：由统计量
设随机变量 相互独立，均服从 分布且 与Y 分别是来自总体 的简单随 机样本，则统计量 X ,Y 1 ,", (0,3 ) 2 N X1 ,", X9 Y9 X ,Y 2 9 9 2 1 1 Y Y X X + + + + = " " U 服从参数为 （ ）的（ ）分布。 [答案：填9；t ] 解答：由 相互独立，均服从 分布，又 与Y 分别来自总体 ，可知 与Y 之间均相互独立，均服从分布 因而 ， X ,Y 1 1 i (0,3 ) 2 N X1 ,", X9 X , Y 1 9 X ,", X (0,3 ) 2 N 9 ,",Y 9 ,",Y ~ 9 1 ∑= Xi (0,9 3 ) 2 N × ~ N(0,1) i 9 1 9 1 X X i ∑= = ， ~ (0,1) 3 N Yi ， ~ (9) 2 χ 3 9 1 2 ∑= i Yi ，且 ∑= = 9 9 1 1 i X Xi 与∑= 9 i 1 3 Yi 2 相互独 立，因而 ( ) 2 9 9 9 1 2 9 1 Y X Y X i i i i = = ∑ ∑ = = 2 1 1 Y X + + " " 9 9 1 9 9 1 i i ∑ ∑ = = 9 1 2 3 1 X Y i i t + + 服 从参数为 的 分布。 设 是取自正态总体 的 简单随机样本且 ，则 （ ）， （ ）时，统计量Y 服从 分布， 其自由度为（ ）。[答案：填 ( , , , ) X1 X2 X3 X4 = b = ~ (0,2 ) 2 X N 2 3 4 b(3X − 4X ) 2 χ Y = 2 1 2 a(X − 2X ) + a 20 1 ；100 1 ； 2 ] 解答：由统计量
y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2 =[Va(X1-2X2+[Nb(3x,-4X4)2设 Y=Va(X1-2X2),Y2=Vb(3X3-4X4),即 y=y2由X~N0,22)可知X,~N(0,2), i=1,2,3,4,且 EY=E[Va(X1-2X2】=Va(EX,-2EX2)=Va(0-2×0)=0 EY2=EVb(3X3-4X4】=Vb(3EX3-4EX4)=Vb(3×0-4×0)=0 DY=D[Va(X,-2X2)]=a(DX,+4DX2)=a(2+4×2)=20a DY2=D[Vb(3X,-4X4】]=b(9DX3+16DX4)=b(9×22+16×22)=100b 若统计量y服从X分布，则由Y=∑y,可知自由 度为2且Y(=1,2)服从标准正态分布，即 EY=EY,=0,DY=20a=1=a= 1 20, DY2=100b=1→b=1 100 设X,X2,.,X,是取自正态总体x的简单随机样 本，空x,5空x 3 S-之-，z.2。-2,证明统计量z服 S 从自由度为2的t分布
Y = 2 3 4 2 1 2 a(X − 2X ) + b(3X − 4X ) 2 4 )] 3 2 = [ a(X1 − 2X2 )] +[ b(3X − 4X 设 4 ) X4 ~ N(0, = a(X1 − 2X2 ),Y2 = b(3X3 − ∑= 2 1 2 i Yi ~ (0,2 ) 2 X N Xi 1,2,3,4 Y1 Y = i = ，即 由 可知 ， ，且 2 ) 2 ) = a(0 − 2× 0) = 0 2 [ ( 2 )] ( 2 EY1 = E a X1 − X2 = a EX1 − EX b(3 4 ) b(3× 0 − 4× 0) = 0 EY2 = E[ b(3X3 − 4X4 )] = EX3 − EX4 = a(DX 4DX ) a(2 4 2 ) 20a 2 2 DY1 = D[ a(X1 − 2X2 )] = 1 + 2 = + × = D[ b (9DX 16DX ) b(9 2 16 2 ) 100b 2 2 = 3 + 4 = × + × = ∑= = 2 1 2 i Yi 2 Yi (3X3 − 4X 4 )] = b 2 χ ( 1,2) DY2 若统计量Y 服从 分布，则由Y ，可知自由 度为 且 i = = 0 服从标准正态分布，即 EY1 = EY2 ， 20 1 DY1 = 20a = 1⇒ a = ， 100 1 DY2 = 100b = 1⇒ b = 设 是取自正态总体 的简单随机样 本， 1 2 9 X , X ,", X X ∑= = 6 1 1 6 1 i Y Xi ， ∑= = 9 7 2 3 1 i Y Xi ， S Y Y S Z 2( ) ) , 2 2 1 − 2 = X Y = i i ( 2 1 9 6 ∑ − 2 = ，证明统计量Z 服 从自由度为2 的t 分布
证明：记DX=o2(未知)，易见EY=EY=EX, DY=o2/6,DY2=σ2/3由于Y和Y2相互独立，可 见B-名)=0，心-)-g+号-号从而 U=Y一兰、NO,由正态总体样本方差的性质，知 σ2 22=252 ~X(2②)由于y与，独立，y与s以及y3 与S2独立，可见Y-Y2与S2独立。 于是，由服从：分布的随机变量的结构，知 2=v2(-Y)U ~(2) S Vx2/2 设总体X服从正态分布N(0,2),而X,X2,Xs 是来自总体的简单随机样本，则随机变量 y=X+.+X品 2(X7+.+X后)服从（)分布，参数为 ( [答案填：F;(10,5 解答： -0n。C+0,4++8)⑨ 2 且显然此二者相互独立，则 x++X%) 4 2X++X福)X++X Y= X?+.+X品 10 -~F(10,5) 4
证明：记 2 DX = σ （未知），易见 EY1 = EY2 = EX ， 6, 2 DY1 = σ 3 2 DY2 = σ = 0 由于Y 和 相互独立，可 见 ， 1 Y2 ( ) E Y1 − Y2 3 2 2 2 2 σ σ + = 6 σ ( ) D Y1 − Y2 = 从而 ~ (0,1) 2 1 2 N Y Y U σ − = 由正态总体样本方差的性质，知 ~ (2) 2 2 2 2 2 χ σ χ S = 2 S 由于Y 与Y 独立，Y 与 以及Y 与 独立，可见Y 与 独立。 于是，由服从 分布的随机变量的结构，知 1 Y2 2 S 1 2 S 2 1 − 2 t ~ t(2) 2 2 U χ 2( ) 1 2 S Y Y Z = − = 设总体 X 服从正态分布 ,而 是来自总体的简单随机样本，则随机变量 (0,2 ) 2 N 1 2 15 X , X ,", X 2( ) 2 15 2 11 2 10 2 1 X X X X Y + + + + = " " 服从（ ）分布，参数为 （ ）。 [答案 填：F; (10,5)] 解答： ( (5) 4 1 ~ (0,1), 2 2 2 N X1 X χ Xi ∵ ∴ +" ( )~ 4 1 2 15 2 )~ (10), X11+"+X 2 2 10 χ 且显然此二者相互独立，则 ~ (10,5) ) ) 2 15 2 10 F X X 5 ( 10 ( 4 1 2 11 2 1 X X + + " " 4 2( ) 1 2 15 2 11 2 10 2 1 X X X X Y + + = + + + + = "
设总体X服从正态分布N(4,o2)(o>0),从中 抽取简单随机样本X,.,X2m,(n≥2)，其样本 均值为了=之x，求统计量 -2n台 Y=∑(X,+X-2)的数学期望E(Y)。 i- 解： E(X,)=4,D(X,)=o2,E(X)=o2+42, E60=0心闭-六aR)= Y=∑(X,+Xm-2X)2 =∑(X7+X+42+2X,X1-4X,X-4XX) =2x+4n2+22x,x-4x2x 1 =2x2-4n2+22x,x i=l EY)=E(X)-4nE(T2)+22E(X,)E(X) 2(o2+u=4n()+4)+2nu=2n-1a
设总体 X 服从正态分布 ，从中 抽取简单随机样本 ，（ ），其样本 均值为 ( , ) ( 0) 2 N µ σ σ > X2n X1 ,", n ≥ 2 ∑= = n n i X 2 2 1 1 X i ，求统计量 ∑= = n i Y 1 (Xi + Xn+i − 2X 2 ) 的数学期望 E(Y)。 解： 2 2 , 2 2 2 2 2 , ( ) , ( ) µ σ σ µ = + = + n E X E Xi 2 2 2 ) σ σ = = n ( ) , ( ) ( ) , ( µ µ = = E X D X E Xi D Xi ∑ ∑ = + = + = + + = + − n i i n i n i i n i X X Y X X 1 2 2 1 ( ( X n+i X ) X + 2Xi Xn+1 − 4Xi X − 4 X 2 2 4 2 ) ∑ ∑ ∑ ∑ = − + = + + n i i n i i X nX X nX 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 ∑ + = + − n i n i n i i X X X X 2 1 4 = = = = n i i n i i X X 1 1 1 1 2 2( 1) ) − σ + n X n i 2 2 2 1 2 ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( µ µ σ + + = + ∑= n n X E X E n i i 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) = σ + µ = ∑ − = n E Y E X n i i 4 4 ( − n nE
7.若T-m,则r2服从什么分布？ 解：设T品其中XN0,IY-F1,以且X 和Y独立，易知X2x2(1),Y~x2(,且x与Y独 立，从而T2=F1, 8.设X1,X2,Xg为取自总体X~N(0,4)的样 本，求常数a,b,C使得 Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+Xg+Xg)2 服从2分布，并求其自由度 解：因为E(X1+X2=EX,DX1+X2)=2DX=8,所以 +X、NO,同理，++X、NO, V⑧ √12 X。+X,+X+X,N0,且三者独立 V12 故 X+X)+(X+x.+x+(X+x,+x:+x) √8 V12 V12 X2(3), 1 1 比较系数可知，agb-2ci6 设有k个正态总体X,~N(4,o),从第i个总体 中抽取容量为m的样本X,X2,Xm,且各组样 本间相互独立，记x,=2x,(1=12k), n=m+m++4,求m=之22化，-，护的分布 σ间间
7. 若T ~ t(n)，则T 2服从什么分布？ 解： 设 T= , Y / n X 其中 X~N(0,1), Y~F(1,n),且 X 和 Y 独立, 易知 X2 ~ χ2 (1), Y~ χ2 (n), 且 X2 与 Y 独 立, 从而 T2 =Y n X / 2 ~F(1,n) 8. 设 为取自总体 的样 本，求常数 使得 1 2 9 X , X ,", X a,b, c X ~ N(0,4) 2 6 7 8 9 2 3 4 5 2 1 2 Q = a(X + X ) + b(X + X + X ) + c(X + X + X + X ) 2 服从χ 分布，并求其自由度. 解: 因为 E(X1+X2)=EX, D(X1+ X2)=2DX=8, 所以 ~ (0,1), 8 1 2 N X + X 同理, ~ (0,1), 12 3 4 5 N X + X + X ~ (0,1), 12 6 7 8 9 N X + X + X + X 且三者独立, 故 1 2 2 ) 8 ( X + X + 3 4 5 2 ) 12 ( X + X + X + 6 7 8 9 2 ) 12 ( X + X + X + X ~ (3), 2 χ 比较系数可知, a= , 8 1 b= , 12 1 c=16 1 . 设有 个正态总体 ，从第 个总体 中抽取容量为 的样本 ，且各组样 本间相互 独立 ，记 k ~ ( , ) 2 Xi N µi σ X i X i , , , 1 2 " i i n i X in ∑= = i n j ij i i X n X 1 1 ( i =1,2,", k )， n = n1 + n2 +"+ nk ，求 ∑∑= = = − k i n j ij i X 1 1 2 ( 1 σ X i W ) 的分布. 2
解：因为 2(X,-X) W=A _m-xm-,且 02 -S（1=1,2,k)相互独立，故 02 m22,-2。 σ2 空m-》,而2u-)-=2-k=n-k, 故2交，-0at 设X1,X2,.,Xg是取自正态总体X~N(4,o2) 的样本，且=后(x+X++X。), =++o.-日空-，求证 Z=2-2)《2
解：因为 2 1 2 ( ) σ ∑= − = ni j Xij Xi W = ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 − − i i i n n S χ σ ，且 2 2 ( 1) σ i i n − S (i =1,2,.,k) 相互独立,故 ∑∑= = = − k i n j ij i i W X X 2 2 ) 1 σ 1 1 ( =∑= − k i i i n S 1 2 2 ( 1) σ n n k i i − = ∑=1 ~ ( ( 1)) ( 1) 1 2 ∑= − k i i χ n ,而 , 故 k n k i k i ∑ − = − =1 ∑∑= = = i n j i 1 1 2 ( 1 σ − X i 2 ) 2 χ k W X ij ~ (n-k ). 设 是取自正态总体 的 样 本，且 1 2 9 X , X ,", X ~ ( , ) 2 X N µ σ ) +"+ X 6 ( 6 1 Y1 = X1 + X 2 ， ) Y2 9 ( 3 1 = X 7 + X 8 + X ， ∑= = 9 7 2 ( 2 1 i Xi S − 2 2 Y ) ，求证 ~ (2) 2( ) 1 2 t S Y Y Z − =
解：易知X-名++.)Nu名， 片=50X+X,+X,)Nu 且Y与Y独立，故Y-YN0,7),又 a3=x-1o-X2） 7 2S2 Y1-Y,与。独立，从而 (g-)/ 5-2-)=:2) A S 设总体X~N(4,o2),从中取出样本 名，记明2- [nXae1-X2-Kn-1). 求证n+lSm
解：易知 ( ) 6 1 Y1 = X1 + X 2 +"+ X 6 ~ ) 6 ( , 2 σ N µ ， ( ) 3 1 Y2 = X 7 + X8 + X9 ~ ) 3 ( , 2 σ N µ 且 Y1 与 Y2 独立，故 Y1－Y2~ ) 2 (0, 2 σ N ，又 ∑= = − 9 7 2 2 2 2 2 ( ) / 2 i Xi Y S σ σ ~ (2 ) 2 χ Y1－Y2与 2 2 2 σ S 独立， 从而 = − 2 2 2 ( ) 2 2 1 2 σ σ S Y Y ~ (2) 2( ) 1 2 z t S Y Y = − 设总体 ，从中取出样本 ，记 ~ ( , ) 2 X N µ σ 1 , , , 1 2 " X n X n+ X , X ∑= − − = n i n Xi X n n S 1 2 2 ( ) 1 1 , 求证 ~ t(n −1) 1 1 − + + S X X n n n n n
证： 因为Xm+1~N(u,o2), 元，-它Xu,且X与独立， n n 故-元No,a+a)，又因为 n a=sra-1),S2与X-X,独立，故 X-Y (n+1)o2 / \n [nxn-X-(n-1) =1n+1 Sn 设总体X~N(0,1),X1,X2,.,Xn为取自该总体的 样本，求 x V=(g-1) (n>5)的分布. 解因为立x:x5,立x~x0-),且 i=l i=6 x与2x?独立，故 =6 =(传-)可 =2F(5,n-5) i-6
证 ： 因 为 ~ ( , ) ， 2 Xn+1 N u σ ∑= = n i n Xi n X 1 1 ~ ( , ) 2 n N σ µ ，且 Xn+1与 X n 独立， 故 X n+1 － X n ) ( 1) ~ (0, 2 n n N + σ ， 又 因 为 2 2 ( 1) σ n n − S ~ χ2 (n－1 )， 与 － 2 Sn Xn+1 X n 独立，故 1 ( 1) ( 2 2 n − S n X n n n 1)σ σ 1 + + − n X 2 n − = ~ ( ) 1 − t S X n n n −1 n +1 n X n+ . 设总体 ，X 为取自该总体的 样本，求 X ~ N(0,1) X X n , , , 1 2 " ( 1) ( 5 ) 6 2 5 1 2 5 = − > ∑ ∑ = = n X X V n i i i i n 的分布. 解: 因为 , 且 故 ~ (5), ~ ( 5) 2 6 2 2 5 1 2 ∑ ∑ − = = X X n n i i i i χ χ ∑ 独立， = n i Xi 6 与 2 ∑ i= Xi 5 1 2 ( 5) 5 6 2 5 1 2 ∑ − ∑ = = X n X n i i i i z X X n i i i i n = − = ∑ ∑ = = 6 2 5 1 2 5 ( 1) ~F(5, n-5)