-101 1. 设随机变量X,~ ,(i=1,2), 111 424 且满足PXX2=0}=1,则PX1=X2}= ()。 A.0 c. D.1 [答案选：A] 2.设两个独立的随机变量X和Y分别服 从正态分布N(0,1)和N(1,1),则： 1 1 A.PX+Y≤0=3B.PK+Y≤1=2 CPX-rs0-n.Px-rs-月 2 [答案选：B] 解答：X+Y服从N(1,2),则B正确。 3.设随机变量X与Y相互独立且同分布， AX=-=W=-0-,AX==W=0=,则 ()成立。 APx=n-月 B.P(X=Y)=1 1 C.PX+Y=0)=4 D.P(W==4 [答案选：A
1． 设随机变量 Xi ～ − 4 1 2 1 4 1 1 0 1 ，(i=1,2), 且满足P{X1X 2 = 0} = 1，则P{X1 = X 2 } = （ ）。 A. 0 B. 4 1 C. 2 1 D. 1 [答案 选：A] 2． 设两个独立的随机变量 X 和 Y 分别服 从正态分布 N(0,1)和 N(1,1)，则： A. 2 1 P{X +Y ≤ 0}= B. 2 1 P{X +Y ≤1}= C. 2 1 P{X −Y ≤ 0} = D. 2 1 P{X −Y ≤1} = [答案 选：B] 解答：X+Y 服从 N(1,2),则 B 正确。 3． 设随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布， 2 1 P(X =−1) = P(Y =−1) = ， 2 1 P(X =1) =P(Y =1) = ，则 （ ）成立。 A. 2 1 P(X = Y) = B. P(X = Y) = 1 C. 4 1 P(X + Y = 0) = D. 4 1 P(XY = 1) = [答案 选：A]
4.设D是由曲线xy=1与直线 y=0,x=1,x=e2围成的平面区域，二维随 机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布， 则(X,Y)关于X的边缘分布在x=2处的值 为()。 [答案填：打 解答：由S。-杰=2设化，)的联合概 率密度为f(x,y),则当(x,y)∈D时， f(x,y)=2:当(k,y)∈D时，f(&,y)=0. ∴.当1≤x≤e2时 1=w= 1 624s 2x，显然 1 ∫x在x=2处的值为4
4． 设 D 是由曲线 xy=1 与直线 y=0,x=1,x= 围成的平面区域,二维随 机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布， 则(X,Y)关于 X 的边缘分布在 x=2 处的值 为( )。 [答案 填： 2 e 4 1 ] 解答：由 ∫ = 1 e = 2 2, 1 D dx x S 设(X,Y)的联合概 率密度为 f(x,y)，则当(x,y)∈D 时， f(x,y)= 2 1 ；当(x,y)∈ D 时，f(x,y)=0. ∴当1 时 2 ≤ x ≤ e ∫ ∫ = = +∞ −∞ = x f (x) dy x X 2 1 2 11 0 f (x) X f(x,y)dy ，显然 在 x=2 处的值为 4 1
5. (仅，Y)的概率密度为f(x,y) [e->00 f,0)=0y0 求Z=2X+Y的概率密度函数
5． (X,Y)的概率密度为 f(x,y)= , 求边缘密度 ， = − 0 0 0 ( ) y e y f y y Y
解：(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y) ey0≤x≤ly>0 =fx(x)f()=1 其它 Z的分 布函数必可表示为： Fa)=PZ≤z)=P2X+Y≤=[fx,d 2r+ f∬Odxdy=0 z<0 2x+ys: fidf "edv=i-11!o 222 0≤z<2 1 z≥2 从而Z的概率密度为： 0 z<0 f(z)= 21-e)0s:<2 2e2-10e 1 z≥2
解：(X,Y) 的联合概率密度函数 f (x, y) = = Z 的分 布函数必可表示为： f (x) X Z = f ( y) Y ≤ = ≤ ≤ > − 0 其它 e 0 x 1, y 0 y ∫∫ + ≤ + ≤ = x y z P X Y z f x y)dxdy 2 F (z) P(Z z) {2 } ( , = ∫ = − + ≥ = − + ≤ = < − − − − − − − + ≤ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 2 0 0 2 2 0 1 0 2 0 2 0 2 dx e dy e e z e z z dx e dy dxdy z z z z x y z z z x y x y z < 2 2 0 从而 Z 的概率密度为： f z (z) = − ≥ − ≤ < < − − ( 1) 2 2 1 (1 ) 0 2 2 1 0 0 2 e e z e z z z z
7.设随机变量X与Y相互独立且X N(4,o2),Y~U[-π，π]求Z=X+Y的概率 密度函数。（计算结果用标准正态分布函数 (x)表示)。 解：由卷积公式可知 (令X-y-严=1) 8.某电子仪器由两个部件构成，其寿命（单 位：千小时)X与Y的联合分布函数为 [1-e05x-e05(x+wx≥0，y≥0 F(x,y)= 0 其他 问：(1)X与Y是否独立？(2)两部件的 寿命都超过100小时的概率
7.设随机变量 X 与 Y 相互独立且 X～ N( µ , ),Y ～U[- 2 σ π ,π ]求 Z=X+Y 的概率 密度函数。（计算结果用标准正态分布函数 表示）。 解：由卷积公式可知 Φ(x) ∫− − − − − π π σ µ πσ π f z y f dy e dy z y X Y 2 1 2 1 ( ) ( 2 2 1 ∫ +∞ −∞ fZ (z) = y) = （令 = t x − y − σ µ ） Φ π z+ = − − − σ π µ σ π µe dy t 2 2 = 2π 1 ∫ + − π z z 2 − − −Φ − σ π µ σ π µ z 2 1 8.某电子仪器由两个部件构成，其寿命（单 位：千小时）X 与 Y 的联合分布函数为 问：（1）X 与 Y 是否独立？（2）两部件的 寿命都超过 100 小时的概率。 − − ≥ ≥ = − − + 0 1 0 0 ( , ) 0.5 0.5( ) 其他 e e x ，y F x y x x y
解：(1) fxy)=F0(x,)=0.2e05+”,x≥0，y≥0 f=fh=022wd=0e,x≥0 f(y)=[f(x.ydx=[0.25e5dx=0.5e5 y20 则恒有)=)， -oKx y.)d 9.设二维随机变量（仅，Y)在矩形 G={:川0≤x≤2,0≤y≤上服从均匀分布，试 求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度 f(s)。 解：当s≤0时，F(s)=0;当s≥2时，F(s)=1; 当0<s<2时，F(s)=PXYS=1-PXYS -1-f[/@x.ybd1-fdbf.dy-(+ln2-In9 ( 于是：(s)= 20m2-lns,0<s<2 0 其他
解：（1） 则恒有 ( , ) ( , ) 0.25 , 0, 0 0.5( ) = ′′ = ≥ ≥ − + f x y F x y e x y x y XY ∫ ∫ +∞ − + − +∞ −∞ = = = ≥ 0 0.5( ) 0.5 f (x) f(x,y)dy 0.25e dy 0.5e , x x y x x ∫ ∫ +∞ − + − +∞ −∞ = = = 0 0.5( ) 0.5 f (y) f (x, y)dx 0.25e dx 0.5e , y x y y Y + 0 ≥ 0 f(x,y)=fx(x)f Y(y), −∞ > = = 0.1 0.1 0.1 (X 0.1,Y 0.1) f (x, y)dxdy e 从而 X 与 Y 独立 。 （2）P 9.设二维随机变量(X,Y)在矩形 G={(x, y)|0≤x≤2,0≤ y≤1} 0 上服从均匀分布，试 求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(s)。 解：当s ≤ 0 2 时，F(s)=0; 当 时，F(s)=1; 当 s ≥ 2 s} (1 ln2 ln ) 2 1 1 1 1 2 dxdy dx s s s = = − + − ∫ ∫ 2 s 1 f(x, y) dy= xy s − ∫∫ > 于是： − < < 0, (ln 2 ln ), 0 s 2 2 1 其他 s f (s) =
10.设随机变量X和Y的联合分布是 G={1≤x≤31≤y≤3上的均匀分布，求随 机变量U=X+Y的概率密度p(u). 解：X和Y的联合密度为 1≤x≤3,1≤y≤3 f(x,y)= 0, 其他 则当u≤0时，F(u)=0;当u≥2时，F(u)=1; 当0 ddy1（2-0 k-isr - 于是p四=2 2-.0<u<2 0, 其他 11.设随机变量X,X2,X3,X4相互独立，同分 布且P(X,=0)=0.6,P(X,=1)=0.4 X X2 (il,2,3,4),求行列式X=X:X的概率 分布
10.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是 G={(x,y):1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，求随 机变量 U=|X+Y|的概率密度 p(u). 解： X 和 Y 的联合密度为 ≤ ≤ = 0, , 1 x 3,1 4 1 ( , ) 其他 f x y ≤ y ≤ 3 则当 u ≤ 0 时，F(u)=0; 当 u 2 时，F(u)=1; 当 0<u<2 时， ≥ 2 (2 ) 4 1 =1− −u | | | | 4 1 F(u) f(x,y)dxdy x y u x y u = = ∫∫ ∫∫ − ≤ − ≤ dxdy 于是 − < < = 0, (2 ), 0 u 2 1 ( ) 其他 u p u 2 11.设随机变量 相互独立，同分 布且 1 2 3 4 X , X , X , X P(Xi = 0) = 0.6， ( =1) = 0.4 P Xi （i=1,2,3,4）,求行列式 3 2 X X 4 1 X X X = 的概率 分布
解：设Y=XX4,Y=X2X,则二者独立同 Y,01 分布且公共分布为：P0.840.16 而X=Y,-Y2,不难知其所有可能的取值为 -1,0,1,且分布律为： X-10 1 P0.13440.73120.1344
解：设 1 1 4 2 2 3 Y = X X , Y = X X ，则二者独立同 分布且公共分布为： .84 0.16 0 1 P 0 Yi 而 Y1 − Y2，不难知其所有可能的取值为 -1，0，1，且分布律为： X = 731 2 0.134 4 0 1 P X 0.134 4 0. −1