前面讨论了随机变量及其分布。如果我 们知道了随机变量X的概率分布,那么,关 于X的全部概率特征也就知道了。 然而,在实际问题中,概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中,我们并不需 要知道随机变量的所有性质,只要知道其一 些数字特征就够了。 因此,在对随机变量的研究中,确定随 机变量的某些数字特征是非常重要的。 最常用的数字特征是:期望和方差
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布,那么,关 于 X 的全部概率特征也就知道了。 然而,在实际问题中,概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中,我们并不需 要知道随机变量的所有性质,只要知道其一 些数字特征就够了。 因此,在对随机变量的研究中,确定随 机变量的某些数字特征是非常重要的。 最常用的数字特征是:期望和方差
第四章 数字特征 §4.1 数学期望 4.1.1离散型随机变量的数学期望 概念引入: 某车间对工人生产情况进行考察,车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量。 如何定义X的平均值?
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入: 某车间对工人生产情况进行考察,车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。 如何定义 X 的平均值? §4.1 数学期望 第四章 数字特征
若统计了100天小张生产产品的情况,发现: 32天没有出废品;30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品;21天每天出三件废品。 可以得到这100天中每天的平均废品数为 32 +1.30 17 21 +2,7+3.21 =1.27 100 100 100 100
若统计了100天小张生产产品的情况,发现: 1.27. 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 + + + = 可以得到这100天中每天的平均废品数为 32天没有出废品;30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品;21天每天出三件废品
可以想象:若另外再统计100天,其中不出废 品,出一件、二件、三件废品的天数与前面 的100天一般不会完全相同,即另外100天每 天的平均废品数也不一定就是127。 般来说,若统计了天 no天没有出废品; (假定每天至多出三件废品) n天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. 可以得到这天中,每天的平均废品数为 02+1+22+3%
可以想象:若另外再统计100天,其中不出废 品,出一件、二件、三件废品的天数与前面 的100天一般不会完全相同,即另外100天每 天的平均废品数也不一定就是1.27。 n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2 + 3 可以得到这n天中,每天的平均废品数为 (假定每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计了n天
0.+1.+2.+3.% 这是以频率为 n n n 权的加权平均 由频率与概率的关系, 不难想到:求废品数X的平 均值时,用概率替代频率, 得平均值为: 这是以概率为 0p+1p+2P2+3p3 权的加权平均 这样,就得到一个确定的数 随机变量X的期望均值)
这是以频率为 权的加权平均 n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2 + 3 由频率与概率的关系, 不难想到:求废品数X的平 均值时,用概率替代频率, 得平均值为: 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 + + + 这是以概率为 权的加权平均 这样,就得到一个确定的数 ——随机变量X的期望(均值)
定义1:设X是离散型随机变量,概率分布为 PX=x}=Pk,k=1,2,。 如果 ∑P有限, 则称 k=1 E(X)= n 为X的数学期望或均值)。 也就是说:离散型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的级数和。 @@
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk }=pk , k=1,2, .。 也就是说:离散型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的级数和。 = = 1 ( ) k k pk E X x =1 | | k 如果 xk pk 有限, 则称 为X 的数学期望(或均值)
在X取可列无穷个值时,级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”,这样E()与取值的人为 排列次序无关。 例1:有4只盒子,编号为1,2,3,4。现有3个 球,将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。 用X表示其中至少有一个球的盒子的最小号 码,卫()。 解:首先求X的概率分布。X所有可能取的 值是1,2,3,4。{X=计表示号盒中至少有 个球,=1,2,3,4
在X 取可列无穷个值时,级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”,这样E(X)与X取值的人为 排列次序无关。 例1: 有4只盒子,编号为1, 2, 3, 4。现有3个 球,将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。 用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号 码,E(X)。 解:首先求X 的概率分布。X 所有可能取的 值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i号盒中至少有一 个球,i=1, 2, 3, 4
为求PX=1,考虑{X=1}的对立事件: {1号盒中没有球},其概率为(3/4)3,因此 PX=1g=1-3-49-3 43 X=2}表示{1号盒中没有球,而2号盒中至少 有一个球},类似地得到: 33-2 P{X=2} Px= PX=4}= 13
为求 P{X=1},考虑 {X=1} 的对立事件: {1号盒中没有球},其概率为(3/4)3,因此 ; 4 4 3 4 3 { 1} 1 3 3 3 3 3 − P X = = − = {X=2} 表示 {1号盒中没有球,而2号盒中至少 有一个球},类似地得到: ; 4 3 2 { 2} 3 3 3 − P X = = . 4 1 , { 4} 4 2 1 { 3} 3 3 3 3 3 = = − P X = = P X
于是, E(X)=1× 24 43+2x 43 25 16 @四风
于是, . 16 25 4 1 4 4 2 1 3 4 3 2 2 4 4 3 ( ) 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = + − + − + − E X =
常用离散型随机变量的数学期望 1.两点分布:X~B(1,p),0<p<1,则 E=1×p+0×(1-p)=p. 二项分布:X~B(n,p),其中0<p<1, 则 E(X)=np. @@网
1.两点分布:X ∼ B(1, p), 0 < p < 1,则 E(X)= 1p + 0(1-p) = p . 常用离散型随机变量的数学期望 2.二项分布:X ∼ B(n, p),其中 0 < p < 1, 则 E(X) = np