第五章 极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科。随机现象的统计规律性只有 在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现 出来。 所以，要从随机现象中去寻求统计规律， 就应该对随机现象进行大量的观测
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科。 所以，要从随机现象中去寻求统计规律, 就应该对随机现象进行大量的观测。 第五章 极限定理 随机现象的统计规律性只有 在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现 出来
研究随机现象的大量观测，常采用极 限形式，由此导致了极限定理的研究。极 限定理的内容很广泛，最重要的有两种： “大数定律”和“中心极限定理”。 @@的
研究随机现象的大量观测， 常采用极 限形式，由此导致了极限定理的研究。 极 限定理的内容很广泛, 最重要的有两种: “大数定律”和“中心极限定理
§5.1大数定律 对随机现象进行大量重复观测，各种结 果的出现频率具有稳定性。 大量地掷硬币 正面出现频率 生产过程 字母使用频率 中废品率
对随机现象进行大量重复观测，各种结 果的出现频率具有稳定性。 §5.1 大数定律 大量地掷硬币 正面出现频率 生产过程 字母使用频率 中废品率
5.1.1切比雪夫不等式 定理1：设随机变量X有期望4 和方差σ2，则对任给的>0，有 切此雪夫，几几 或 P-小1-g X小 @@的
5.1.1 切比雪夫不等式 定理1: 设随机变量X有期望μ 和方差σ 2 ，则对任给的ε> 0, 有 | | . 2 2 P X − 1 , 2 2 P X − − 或
证明：只对X是连续型情况加以证明 设X的概率密度函数为fx),则有 P{IX-4≥ε}=∫f(x)dx 放大被积函数 |x-≥8 放大积分域 r)d x-≥8 ≤c-f)d ds
证明：只对X是连续型情况加以证明。 设X的概率密度函数为f(x)，则有 − − = | | | | ( ) d x P X f x x 放大被积函数 − − = | | 2 2 ( ) d ( ) x f x x x 放大积分域 ( ) ( ) d . 1 ( ) ( ) d 1 2 2 2 2 2 2 = − = − − − x f x x x f x x
5.1.2大数定律 首先引入随机变量序列相互独立的概念。 定义1：设X,X2,.是一随机变量序列。 如果对任意的n>1,X,X2,Xn相互独立， 则称X,X,.相互独立。 @@的
5.1.2 大数定律 首先引入随机变量序列相互独立的概念。 定义1：设 X1 , X2 , .是一随机变量序列。 如果对任意的 n>1， X1 , X2 , ., Xn相互独立, 则称X1 , X2 , .相互独立
几个常见的大数定律 定理2（切比雪夫大数定律）：设随机变量 序列X,X2,.相互独立，且有相同的期望和 方差：EX)=4,VarX)=o2,i-1,2,.。 则对任意的>0，有 lim PX,-u<a=1, (1） 其中又=∑X
几个常见的大数定律 定理2 (切比雪夫大数定律): . 1 lim 1, (1) 1 = → = − = n k n k n n X n X P X 其中 设随机变量 序列 X1 , X2 , . 相互独立，且有相同的期望和 方差: E(Xi )=μ, Var(Xi ) =σ 2 ，i=1, 2, . 。 则对任意的ε>0，有
证明： E)=12EX)=, n k=1 Var(X,)=Var(X)- 对，使用切比雪夫不等式，得到 PR,-4<}21- n 令no,并注意到概率小于等于1，得(1)式。 定理证毕。 @@函
证明： Var( ) . 1 Var( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 n X n X E X n E X n k n k n k n k = = = = = = ， 对 Xn 使用切比雪夫不等式， 得到 1 , 2 n P Xn − − 令 n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。 定理证毕
该大数定律表明：无论正数ε怎样小，只 要n充分大，事件{区，∈(u-6,u+)}发生 的概率均可任意地接近于1。 即当n充分大时，差不多不再是随机 变量，取值接近于其数学期望4的概率接近 于1。 在概率论中，将1)式所表示的收敛性称 为随机变量序列X,X,X,.依概率收敛 于4，记为Xn”→4
该大数定律表明：无论正数ε 怎样小, 只 要 n充分大，事件 发生 的概率均可任意地接近于 1。 Xn ( −, + ) 即当 n充分大时， 差不多不再是随机 变量， 取值接近于其数学期望μ的概率接近 于 1。 Xn 在概率论中，将(1) 式所表示的收敛性称 为随机变量序列 依概率收敛 于μ ，记为 。 X1 , X2 , , Xn , ⎯→ . P Xn
下面再给出定理2的一种特例 贝努里大数定律。 设n,是n重贝努里试验中事件 A发生的频数，p是每次试验中A发 生的概率。 雅各布第一·伯努利 1,第i次试验A发生， 0,第：次试验4不发生 i=1,2,.,n 则n4= 丝=∑X是次试验中A发生的频率 n i=l
下面再给出定理2的一种特例—— 贝努里大数定律。 设nA 是n重贝努里试验中事件 A发生的频数，p是每次试验中A发 生的概率。 1 2 . , 第 次试 不 生, 1, 第 次试 发生, i , , ,n i A i A X i = = 验 发 验 0 引入 , 1 = = n i A Xi 则 n X 是n次试验中A发生的频率。 n n n n i i A 1 1 = =