北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§3.1 二维随机向量及其分布函数 §3.2 二维离散型随机向量 §3.3 二维连续型随机向量

第三章随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是 不够的，需要用几个随机变量来同时描述。 例如： 1.某人体检数据 血压X和心律Y; 2.钢的基本指标 含碳量X,含硫量和 硬度Z; 3.导弹在空中位置一 坐标X,Y,Z

第三章 随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是 不够的，需要用几个随机变量来同时描述。 3. 导弹在空中位置——坐标(X, Y, Z)。 1. 某人体检数据——血压X和心律Y； 例如： 2. 钢的基本指标——含碳量X，含硫量 Y和 硬度 Z ；

般地，将随机试验涉及到的个随机 量X,X,X放在一起，记成(X,X, X),称n维随机向量（或变量）。 由于从二维随机向量推广到多维随机向 量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二 维随机向量

一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机 量 X1, X2 , ., Xn 放在一起，记成(X1, X2 , ., Xn )，称 n 维随机向量(或变量)。 由于从二维随机向量推广到多维随机向 量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二 维随机向量

§3.1二维随机向量及其分布函数 设试验E的样本空间为2，X=X(O)与Y= Y(o)是定义在2上的两个随机变量，由它们构 成的向量(X,)称为二维随机向量。 二维随机向量X,)的性质不仅与X和Y 的性质有关，而且还依赖于和Y之间的相互 关系。因此，必须把X,)作为一个整体来看 待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量X,)的分 布函数的概念

§3.1 二维随机向量及其分布函数 设试验E的样本空间为Ω，X=X()与Y= Y()是定义在Ω上的两个随机变量, 由它们构 成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。 二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互 关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看 待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分 布函数的概念

定义二维随机向量X,)的联合分布函数为 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y), 一o0<X≤0 一0≤y<0. 如果将X,Y)看成平面上随机点的坐标。 取定xo,yo∈R=（-o,o),F(xo,Jyo)就是点(X,Y） 落在平面上，以(xoy)为顶点，且位于该点 左下方无限矩形区域上的概率

定义二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为 , . ( , ) ( , ), −     −     =   x y F x y P X x Y y 取定x0,y0R=(-∞,∞), F(x0,y0)就是点(X,Y) 落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点 左下方无限矩形区域上的概率。 如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标

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说明 由上面的几何解释， 易见：随机点(X,Y)落在矩 形区域： x1x≤x2,y1y≤y2 内的概率为 P{x1<X≤2，Jy12} =Fc2,y2)广Fc2,y1)厂Fc1,Jy2+Fc1,Jy1) @@网

由上面的几何解释， 易见: 随机点(X, Y)落在矩 形区域: x1<x≤x2, y1<y≤y2 内的概率为 P{x1<X≤x2 , y1<Y≤y2 } =F(x2 , y2 )-F(x2 , y1 )- F(x1 , y2 )+F(x1 , y1 ). 说明

二维分布函数Fx,y)的三条基本性质 (1).F化，y)是变量x,y的非减函数； 即yeR给定，当x1<x2时， F(1,y)<F(x2,y). 同样，VxeR给定，当y2时， F(x,y )<F(x,y2). (2).x,y∈R,有0≤Fx,y)≤1； @四的

二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质 (1).F(x, y)是变量 x,y 的非减函数； 即  yR给定，当 x1< x2 时， F(x1 , y)≤F(x2 , y). 同样, xR 给定，当y1≤y2时, F(x, y1 )≤F(x, y2 ). (2).x, yR, 有 0≤F(x, y)≤1；

(3).Vy∈R,F(-0,y)=0, Vx∈R,Fx,-oo=0, F(-00,-0o=0,F(0,o)=1. 其中 F(-o,y)=lim F(x,y), ●0 F(x,-oo)=lim F(x,y), F(-o,-∞)=，liF(x,y)， Y,V->-c0 F(o,o)=m.Fx,)

(3).  yR, F(-∞, y)=0，  xR, F(x, -∞)=0， F(-∞, -∞)=0，F(∞, ∞)=1. ( , ) lim ( , ). ( , ) lim ( , ) , ( , ) lim ( , ), ( , ) lim ( , ) , , , F F x y F F x y F x F x y F y F x y x y x y y x → →− →− →−   = − − = − = − = 其中

§3.2三维离散型随机向量 如果随机向量X,)的每个分量都是离 散型随机变量，则称X,)是二维离散型随 机向量。 二维离散型随机向量X,)所有可能取 的值也是有限个，或可列无穷个

§3.2 二维离散型随机向量 如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离 散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随 机向量。 二维离散型随机向量(X, Y) 所有可能取 的值也是有限个，或可列无穷个

离散型随机变量 离散型随机向量 X的概率分布： X,)的联合概 率分布： P(X=xk)=Pk> P(X=x,Y=yjPu k=1,2, i,j=1,2, Pk≥0，k=1,2, p,≥0,1，j=1,2,. ∑Σp,=1

离散型随机变量 X 的概率分布: =  = = 1,2, ( ) , kP X x k p k  =  = k k k p p k 1. 0, 1,2, 离散型随机向量 (X, Y) 的联合概 率分布: , 1 , 2 , . ( , ) , = = = = i j P X x i Y y j pi j  =  = i j i j i j p p i j 1. 0, , 1,2,