设X~p(x),且p(-x)=p(x),其分布函 数为F(x),则对任意实数a,F(-a)=()。 A.1-fo(x)dx B.dx C.F(a) D.2F(a)-1 [答案选：B] 设XN(4,o2),则随着o的增大， P(X-4<o)( )。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案选：C] 若随机变量X,X2的分布函数为F(x)与 F(x)则a,b取值为()时，可使 F(x)=aF(x)-bF(x)为某随机变量的分布 函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 [答案选：A] 解答：由分布函数在士∞的极限性质，不 难知a,b应满足a-b=l,只有选项A正确
设 X～ϕ (x),且ϕ (-x)= ϕ(x),其分布函 数为 F(x),则对任意实数 a, F(-a)=( )。 A.1- ∫ d a x 0 ϕ( ) x B. 2 1 - ∫ d a x 0 ϕ( ) x C.F(a) D.2F(a)-1 [答案 选：B] 设 X～N( µ , ),则随着 的增大， P(|X- 2 σ σ µ |< )（ ）。 A.单调增大 B.单调减少 σ C.保持不变 D.增减不定 [答案 选：C] 若随机变量 的分布函数为 与 则 a,b 取值为（ ）时，可使 F(x)=a -b 为某随机变量的分布 函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 [答案 选：A] 解答：由分布函数在±∞的极限性质，不 难知 a,b 应满足 a-b=1,只有选项 A 正确。 1 2 X , X ( 2 F x ( ) 1 F x ( ) 2 F x ( ) 1 F x )
设随机变量Y在区间[1,6]上服从均匀分 布，则方程x2+x+1=0有实根的概率为 ()。 [答案填：0.8] 解答：方程x2+Yx+1=0有实根当且仅当 △≥0，即Y|≥2，则 pIY1≥2)=写dx0.8 设随机变量X在区间[2,5]上服从均匀分 布，求对X进行的三次独立观测中，至少 有两次的观测值大于3的概率。 解：P仪>3》-行dx=子，则所求概率即为 c009c9
设随机变量 Y 在区间[1，6]上服从均匀分 布，则方程 有实根的概率为 （ ）。 [答案 填：0.8] 解答：方程 有实根当且仅当 Δ 0，即|Y| 2,则 P(|Y| 2)= 1 0 2 x + Yx + = 1 2 x +Yx+ = ≥ 0 ≥ ≥ ∫ 6 2 5 1 d x =0.8 设随机变量 X 在区间[2，5]上服从均匀分 布，求对 X 进行的三次独立观测中，至少 有两次的观测值大于 3 的概率。 解：P(X＞3)= ∫ 5 3 3 1 d x = 3 2 , 则所求概率即为 27 20 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 2 3 = + C C
设某仪器有三只独立工作的同型号电子元 件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数 分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最 初200小时内，至少有一只电子元件损坏的 概率。 解：设随机变量x表示第i只元件的使用寿 命，i=1,2,3, 则P(X200-e亩dx=1-e得所求 概率为：1-Cg1-e3)°(e3)3=1-e 随机变量Xf)弓e ,-∞<x<+∞，则 XF(x)=()。 [答案填F(x)= e,x<0 1- 2e,x≥0 解答：当x<0时， F-d-Lzd- 当x≥0时， F(x)-d-Ld+d-
设某仪器有三只独立工作的同型号电子元 件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数 分布，其参数为 1/600，求在仪器使用的最 初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的 概率。 解：设随机变量 表示第 i 只元件的使用寿 命,i=1,2,3, 则 P{ Xi Xi ≤ 200}= ∫ 200 0 − 600 e 600 1 x d 3 1 1 e − x = − 得所求 概率为：1- 3 3 1 1 3 0 1 0 3 (1 ) ( ) 1 − − C e = −e − −e 随机变量 X∼f(x)= | | 2 1 x e − ,-∞＜x＜+∞,则 X∼F(x)=( )。 [答案 填 − ≥ < = − , 0 2 1 1 , 0 2 1 ( ) e x e x F x x x ] 解答：当 x＜0 时， F(x)= ∫ d −∞ x f (t) ∫−∞ = x t e 2 1 t d x t e 2 1 = 当 x 0 时， F(x)= d ≥ ∫−∞ x f (t) ∫−∞ = 0 2 1 t t e d ∫ − + x t t e 0 2 1 dt x e − = − 2 1 1
对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成 绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均 72分，且96分以上的考生数占2.%。求考 生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解：设X表示考生的外语成绩，且X~ N(72,σ2)，则 24 P(X>96)=1-P(X≤96)=1-Φ(。)=0.023， 即分)0977查表得兰2，则0 24 =12,即且X~N(72,144),故 p60X:8p%1≤X2≤1-20()-1 =0.682 设一大型设备在任何长为t的时间内，发生 故障的次数N(t)服从参数为入t的泊松分 布，求： (1)相继两次故障之间的时间间隔T的概 率分布； (2)在设备已无故障工作8小时的情况下， 再无故障工作8小时的概率
对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成 绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均 72 分,且 96 分以上的考生数占 2.3%。求考 生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。 解：设 X 表示考生的外语成绩，且 X～ N(72, ),则 P(X >96)=1-P(X 96)=1- 2 σ ≤ Φ( σ 24 )=0.023, 即Φ ( σ 24 )=0.977,查表得 σ 24 =2，则σ =12，即且 X～N(72,144)，故 P(60 ≤ X ≤ 84)=P(-1 ≤ 12 X − 72 ≤ 1)=2Φ (1)-1 =0.682 设一大型设备在任何长为 t 的时间内，发生 故障的次数 N(t)服从参数为λt 的泊松分 布，求： （1）相继两次故障之间的时间间隔 T 的概 率分布； （2）在设备已无故障工作 8 小时的情况下， 再无故障工作 8 小时的概率
解：(1)只需求出T的分布函数F(t): 当tK0时，F(t)=P(Tst)=0 当t≥0时， F(t)=P(Tst)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0) 1-(0e=e 可见T服从参数为入的指数分布。 RT>101-0-e)-e (2)P(T>16T>8)=PT>81-1-e) 设X服从参数为2的指数分布，求证： Y=1-e2x在[0,1]上服从均匀分布。 证明：由X的分布可见其有效取值范围是 [0,+∞)，则Y的有效取值范围是[0,1]， 从而： 当y≤0时，F(y)=0;当y≥1时，F(y)=1; 0<y<1,F(y)=P(Y sy)=P(1-e-2x sy} p-=1-em=1-1=yy 对F(y)关于y求导数即得Y的密度函数： ,0<y<1 f)=0 其他 故Y在[0,1]上服从均匀分布
解：（1） 只需求出 T 的分布函数 F(t)： 当 tt)=1-P(N(t)=0) = t t t e e λ λ λ − − − = 0 ( ) 0! 1 1 可见 T 服从参数为λ的指数分布。 (2)P(T >16|T >8)= t t t e e e PT PT 8 8 16 1 (1 ) 1 (1 ) ( 8) ( 16) − − − = − − − − = > > 设 X 服从参数为 2 的指数分布，求证： Y=1- 在[0，1]上服从均匀分布。 证明： 由 X 的分布可见其有效取值范围是 [0，+∞),则 Y 的有效取值范围是[0，1]， 从而： 当 y 0 时，F(y)=0; 当 y 1 时，F(y)=1; 当 0＜y<1, F(y)=P(Y X e −2 ≤ ≥ ≤ y)= P{1- y} =P{X ≤ X e −2 ≤ ln(1− y) 2 1 − }=1- ln( )] 2 1 y e − − < 2[ 1− 1 =1-(1-y)=y 对 F(y)关于 y 求导数即得 Y 的密度函数： 故 Y 在[0，1]上服从均匀分布。 = 0, 1, 0 < 其他 ( y f y)
设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=-1)= 令，Px1)=号，在事件1Kx-出现的 条件下，X在区间(-1,1)内的任意子区 间上取值的条件概率与该子区间的长度成 正比，求X的分布函数F(x)。 解：显然，P(1KX<1）=；.设-1Ka1, 则P(a<X<b)=k(b-a) 且P(1<X<1)=k(1-(1)=2,则k=),在事 件(-1<X<-1)出现的条件下，X在区间 (-1,1)内的子区间上(0，x)取值的条件 概率为 P(-1<X≤x-1<X<1) PCI<x≤x=<X<山.P1Xs0-x+) P(-1<X<1) 5 故P(-1KX≤x)=i6x+1） 0 x<-1 .Fx)= 15x+7)-1≤x<1 16 1 x≥1
设随机变量 X 的绝对值不大于 1，P(X=-1)= 8 1 ,P(X=1)= 4 1 ,在事件{-1<X <-1}出现的 条件下，X 在区间（-1，1）内的任意子区 间上取值的条件概率与该子区间的长度成 正比，求 X 的分布函数 F(x)。 解：显然， P(-1< X < 1) = 8 5 . 设-1<a<b<1, 则 P(a<X<b)= k(b-a) 且 P(-1<X<1)=k(1-(-1))=2,则 k= 2 1 ,在事 件(-1<X< -1)出现的条件下，X 在区间 （-1，1）内的子区间上（0,x）取值的条件 概率为 P(-1<X ≤ x|-1<X<1) = ( 1) 2 1 8 5 ( 1 ) ( 1 1) ( 1 , 1 1) = + − < ≤ = − < < − < ≤ − < < x P X x P X P X x X 故 P(-1< X ≤ x)=16 5 (x +1) ∴ ≥ + − ≤ < < − = 1 1 (5 7) 1 1 16 1 0 1 ( ) x x x x F x