常微分方程多媒体教学课件 第四章高阶微分方程 @§4.1线性微分方程的一般理论 @ §4.2常系数线性方程的解法 §4.3高阶方程的降价和幕级数解法 单击《所选的内容》打开目录再次单击关闭目录 结束 帮助 2上一贡返回下一页<2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 常微分方程多媒体教学课件 第四章 高阶微分方程 单击《所选的内容》打开目录再次单击关闭目录 §4.1 线性微分方程的一般理论 §4.2 常系数线性方程的解法 §4.3 高阶方程的降价和幕级数解法
第一章到第三章我们主要讨论了一阶微分方程（一阶微 分方程的解法以及一阶微分方程解的存在唯一性定理).在这 一章里我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即高阶微分 方程.本章重点讲述线性微分方程的基本理论和常系数线性 微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分方程的降阶方法. 结束 帮助
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 第一章到第三章我们主要讨论了一阶微分方程（一阶微 分方程的解法以及一阶微分方程解的存在唯一性定理). 在这 一章里我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程, 即高阶微分 方程. 本章重点讲述线性微分方程的基本理论和常系数线性 微分方程的解法, 也简单介绍某些高阶微分方程的降阶方法
常微分方程多媒体教学课件 §4.1线性微分方程的一般理论 引言 @(二) 齐线性方程的解的性质及结构 @ (三) 非齐线性方程与常数变易法 @(四)作业 单击《所选的内容》打开目录再次单击关闭目录 结束 翡助上一贡返回下一页2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 常微分方程多媒体教学课件 §4.1 线性微分方程的一般理论 单击《所选的内容》打开目录再次单击关闭目录 （一） 引言 （二） 齐线性方程的解的性质及结构 （三） 非齐线性方程与常数变易法 （四） 作业
S4.1线性微分方程的一般理论 4.1.1引言 我们讨论如下的n阶线性微分方程 d"x +a,(t)x=f(t) (4.1) 其中a,(t)(i=l,2,.,n)及f(t)都是区间a≤t≤b上的连续函数 如果f)=0,则方程(4.1)变为 +a.(0x=0 (4.2) 称(4.2)为阶齐次线性微分方程.简称齐次线性微分方程.而 (4.1)为阶非齐次线性方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方 程(4.2)叫做对应于方程(4.1)的齐次线性微分方程 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 1 1 1 ( ) . ( ) ( ) ( ) (4.1) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − §4.1 线性微分方程的一般理论 我们讨论如下的n阶线性微分方程 4.1.1 引言 其中 ( ) ( ( 1,2, , ) ) i a t f t i n = 及 都是区间 a t b 上的连续函数. 如果 f t( ) 0, 称(4 .2)为n阶齐次线性微分方程. 简称齐次线性微分方程.而 (4.1)为n阶非齐次线性方程, 简称非齐次线性微分方程, 并且把方 程(4.2)叫做对应于方程(4.1)的齐次线性微分方程. 则方程(4.1)变为 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 (4.2) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt − + + + + = − −
4.1线性微分方程的一般理论 +a0+.+a0+a.0x=0 d"x (4.10 首先讲(4.1)的解的存在唯一性定理 定理1：如果a,(t)(i=1,2,m)及f(t)都是区邮≤t≤b上的 上的连续函数，则对于任一t。∈[及狂意的 七，0，m- 方程(4.1)存在一解七=o(0),定义于区间a,b]上，连续且满 ())(4.3) 及 此定理的证明我侧将在第五章给出. 部 在 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 1 1 1 ( ) . ( ) ( ) ( ) (4.1) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − 如 果 , 则 ( 4 . 1 ft( ) 0 其 中 及 都 在 上 ( )( 1,2,., ) i a t i n = ft() [ , ] ab 首先讲(4 .1)的解的存在唯一性定理 定理1: 如果 a t i n i ( )( 1,2,., ) = 及 f t( ) 都是区间 a t b 上的 上的连续函数, 则对于任一 t a b 0 [ , ] 及任意的 ( 1) 0 0 0 , , , n x x x − 方程 (4 .1)存在唯一解 x t = ( ) , 定义于区间 上, 连续且满 足 [ , ] a b ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) ,., ( ) (4.3) n n t x t x t x − − = = = 此定理的证明我们将在第五章给出. §4.1 线性微分方程的一般理论
。4.1线性微分方程的一般理论 4.1.2齐线性方程的解的性质及结构 定理2如果x(t),x2(t),xk()是(4.2)的k个解，则它们的 线性组合Cx1(t)+C2x2(t)+.+Cx(t)也是(4.2)的解.这里 c:(i=1,2,n)为任意常数. 特别地，当k=n时，即方程(4.2)有解 x=Cx()+cx()+.+cx() (4.4) 它含有个任意常数，那么它是不是(4.2)的通解呢？我们说不一定， 因为通解要求C,彼此独立. 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 4.1.2 齐线性方程的解的性质及结构 定理 2 1 2 ( ), ( ),., ( ) k x t x t x t 线性组合 1 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) k k c x t c x t c x t + + + ( 1,2,., ) 为任意常数 . i c i n = 特别地,当 1 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) (4.4) n n x c x t c x t c x t = + + + 它含有n个任意常数, 那么它是不是(4 .2)的通解呢? ci 如果 是(4 .2)的k个解,则它们的 也是(4 .2) 的解. 这里 k n = 时, 即方程(4.2)有解 我们说不一定, 因为通解要求 彼此独立 . §4.1 线性微分方程的一般理论
x=cx()+czx2()+.+cx(t) (4.4) 例如，如果x,(t),x2(t).xm-1(t)是(4.2)解，则x,(t),x2(t)., xm-(t),xn(t)=c,(t)也是(4.2)的解，从而 x(t)=cx(t)+c2x2(t)+.+c,x(t) =(C1+2C2)x,(t)+C2x2(t).Cnxn-1(t) 是(4.2)的解，但它只含有(n-1)个常数，所以不是(4.2)的通解 那么在什么条件下(4.4)能成为(4.2)的通解呢？ 为了回答这一问题，我们给出函数线性相关及关系的概念. 结束 首而
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) n n n n x t c x t c x t c x t c c x t c x t c x t − = + + + = + + 1 2 1 1 2 1 1 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) (4.2) 例如，如果 ， 是(4.2)解，则 ， 也是 的解，从而 n n n x t x t x t x t x t x t x t kx t − − = 是(4.2)的解, 但它只含有(n-1)个常数, 所以不是(4.2)的通解. 那么在什么条件下(4.4)能成为(4.2)的通解呢? 1 1 2 2 ( ) ( ) . ( ) (4.4) n n x c x t c x t c x t = + + + 为了回答这一问题, 我们给出函数线性相关及关系的概念
函数线性相关与线性无关 设x(t),七2(t),x()是定义在[a,b]上的函数组，如果存在 不全为零的常数C1,C2,Cn,使得 C1x(t)+C2x2(t)+.+cmxn(t)≡0 对所有的t∈[，b]都成立.则称x1(t),x2(t),在xn(t)上牲关 否则就称这些函数组在所给定的区间上线性无关 (即上面方程式只有在c=0,(i=1,2,)时才成立，则称 (t),x,(t),xn(t)在[，线性无关) 例如，x,(t)=cost,x2(t)=sint,在任意区间上线性无关， (c1c0st+c2sint≡0，只有在C1=c2=0时成立) 但cos2t,sin2-1在任意区间上线性相关. 取(c1=1,c2=1) 结末帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 2 ( ), ( ),., ( ) 设 x t x t x t n 是定义在 [ , ] a b 上的函数组, 如果存在 1 2 , ,., , c c cn ( ) ( ) ( ) c x t c x t c x t 1 1 2 2 + + + n n 0 0,( 1,2,., ) i (即上面方程式只有在 c i n = = 对所有的 t a b [ , ] 都成立.则称 在 上线性相关. 1 2 ( ), ( ),., ( ) x t x t x t n [ , ] a b 1 2 在 [ , ] a b 上线性无关). ( ), ( ),., ( ) n x t x t x t 函数线性相关与线性无关 否则就称这些函数组在所给定的区间上线性无关. 不全为零的常数 使得 时才成立, 则称 2 2 但cos ,sin 1 t − 1 2 例如, x t t x t t ( ) cos , ( ) sin , = = 在任意区间上线性无关. 1 2 ( cos sin 0 c t c t + ,只有在 c c 1 2 = = 0 时成立.) 在任意区间上线性相关. 取 1 2 ( 1, 1) c c = =
重41线性微分方程的一般理论 函数组1，t,t2,t”在任意区间[a,我性无关.因为 co +ct+c2t2+.+ct"=0 (4.5) 上式左端是一个n次的多项式，它最多有n个根，即最多存在n个t满足 满足上式.所以要使上式对所有t∈[a,b]都成立，必有c:=0 (i=1,2,.). 由定义不难推出以下结论 (1)在函数组飞(t),2(t),xn(t中如果有一个函数为0， 例如：xx在)a,b上为0，而 x(t)≠0，i≠k,i=1,2,.,n,t∈ 则七(t),x2(t),xn)[线姓相关 取(Ck≠0，C,=0,i=1,k-1,k+1,n) 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 2 0 1 2 . 0 (4.5) n c c t c t c t + + + + n 满足上式 . 所以要使上式对所有 由定义不难推出以下结论. t a b [ , ] ci = 0 1 2 ( ), ( ),., ( ) x t x t x t n (1)在函数组 中如果有一个函数为0 , 例如: x t k 在 ( ) [ a , b ]上为0,而 x t i k i t a b i ( ) 0, , 1,2, [ , ] = ，n, 则 在 线性相关. 1 2 ( ), ( ),., ( ) n x t x t x t [ , ] a b 取 (c c i k k n k i = = − + 0, 0, 1,., 1, 1,., ) 2 1, , ,., n 函数组 t t t 在任意区间 [ , ] a b 上线性无关. 因为 §4.1 线性微分方程的一般理论 上式左端是一个n次的多项式,它最多有n个根, 即最多存在n个t满足 都成立, 必有 ( 1, 2,.). i =
(2)如果两个函数X(t),x2(t)比值 七（在[a,有定义。 x2(t) 则它们在a,b止线性无关，等价于七②数 x2(t) 证明设x(),x,()在a,b]线性无关.如果七( =c(c为常娄 x2(t) 则x(t)-c心，(t)三0，t∈[a,b]从而x(),x,()在a,b上线性相关.矛盾 另一方向.设回≠常数tE,b1,如果x(),七，() x2(t) 在[，b]上线性相关.则存在不全为零的常数k1,k2使得 kx1+k2x2=0,t∈[a,b] 若k1≠0.→七1=-飞 (矛盾) k 若k1=0 则应有k2≠0→X2三0 （矛盾) 由假设x,是分母 ∴.x2(t)≠0例：e,e在任意区间线性无关发 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 2 则x t cx t t a b ( ) ( ) 0 [ , ] − ， 另一方向．设 1 常数 ， 如果 2 ( ) ( ) x t x t 1 2 t a b [ , ] x t x t ( ), ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) [ , ] . ( ) ( ) 设 在 线性无关 如果 为常数 x t x t x t a b c c x t 证明 1 2 从而x t x t a b ( ), ( ) [ , ] 在 上线性相关.矛盾 （2）如果两个函数 x t x t 1 2 ( ), ( ) 比值 1 上有定义。 2 ( ) [ , ] ( ) 在 x t a b x t 则它们在 上线性无关,等价于 常数. 1 2 ( ) ( ) x t x t [ , ] a b 在 [ , ] a b 上线性相关．则存在不全为零的常数 k k 1 2 , 使得 1 1 2 2 k x k x t a b + 0, [ , ] 1 2 1 2 1 0. x k k x k 若 − （矛盾） 1 k = 0 若 则应有 k x 2 2 0 0 （矛盾） 由假设x t 2 ( ) 是分母 2 x t( ) 0 例： , 在任意区间线性无关 t t e e−