习题（一） 1.指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性： 1)=4r2-y dx 答：一阶线性方程。 2)dy+2y4+3y=0: d'x dx 答：二阶非线性方程。 3)4+cosy+x=0: dx 答：一阶非线性方程。 2.已知平面曲线上任意一点的切线在两坐标之间的部分都等于定 长1，试求出此平面曲线应满足的微分方程。 解：设(，y)为切线上的点，过切点(x,)的切线方程为： Y-y=y(X-x), 它与x与y轴的交点分别为(x-y/y,0)与(0，y-xy),所以所 求的方程为(x-y/y2+0y-y2=P。 3.已知平面曲线上任意一点的切线与该点和原点的连线之间夹 角均为常数α，试求出此平面曲线应满足的方程。 解；由题意，tan(arctan y'-arctan(y/x)=tana=k,故由三角 公式得所求方程为(y-y/x)=k(I+y/x)。 4.求曲线族(x-c)2+(y-c2)2=c所满足的微分方程，其中 9,C2,C3为任意常数。 解：方程两边对x求导一次得2(x-C)+2(y-c2)y=0,在对
习 题(一) 1. 指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性： 1） 2 4 dy x y dx = − ： 答：一阶线性方程。 2） 2 2 2 3 0 : d y dy y xy d x dx + + = 答：二阶非线性方程。 3） cos 0 : dy y x dx + + = 答：一阶非线性方程。 2. 已知平面曲线上任意一点的切线在两坐标之间的部分都等于定 长 l ，试求出此平面曲线应满足的微分方程。 解：设 ( x y, ) 为切线上的点，过切点 ( x y, ) 的切线方程为： ' Y y y X x − = − ( ), 它与 x 与 y 轴的交点分别为 ' ( / ,0) x y y − 与 ' (0, ) y xy − ，所以所 求的方程为 ' 2 ' 2 2 ( / ) ( ) x y y y xy l − + − = 。 3．已知平面曲线上任意一点的切线与该点和原点的连线之间夹 角均为常数 ，试求出此平面曲线应满足的方程。 解；由题意， ' tan(arctan arctan( / )) tan y y x k − = ，故由三角 公式得所求方程为 ' ' ( / ) (1 / ) y y x k yy x − = + 。 4. 求曲线族 2 2 2 1 2 3 ( ) ( ) x c y c c − + − = 所满足的微分方程，其中 1 c ， 2 c ， 3 c 为任意常数。 解： 方程两边对 x 求导一次得 ' 1 2 2( ) 2( ) 0 x c y c y − + − = ，在对
x求导一次得2+2y2+20-6)y=0，解出9： 92=y+(1+y2)/y,对其关于x求导一次得所求的微分方程 y+[1+y2)/y]=0。 5.一个容器盛盐的水溶液100升，净含盐10千克。现以每分 钟3升的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟2升的流量让盐 水流出。设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均匀的，求出任意时刻 1容器中净盐量所满足的微分方程和定解条件。 解：设在1分钟时净盐量为x()千克，定解条件为初始条件： x(0)=10(千克)，在时刻t(分)时，水溶液体积为(100+)（升）， 盐浓度为100+，（千克升，按题意，净盐量变化率么=心 d100+1 这就是所求的微分方程
x 求 导 一 次 得 2 2 2 2 2( ) 0 + + − = y y c y ， 解 出 2 c ： '2 '' 2 c y y y = + + (1 ) / ，对其关于 x 求导一次得所求的微分方程 ' '2 '' ' y y y + + = [(1 ) / ] 0。 5. 一个容器盛盐的水溶液 100 升，净含盐 10 千克。现以每分 钟 3 升的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟 2 升的流量让盐 水流出。设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均匀的，求出任意时刻 t 容器中净盐量所满足的微分方程和定解条件。 解：设在 t 分钟时净盐量为 xt( ) 千克，定解条件为初始条件： x(0) 10 = （千克），在时刻 t （分）时，水溶液体积为 (100 ) + t （升）， 盐浓度为 100 x + t （千克/升），按题意，净盐量变化率 2 100 dx x dt t − = + ， 这就是所求的微分方程