第六章不定积分 第七章定积分 第八章定积分的应用和近似计算 1.1.函数 第九章数项级数 访问主页 标题页 第十章广义积分 第十一章函数项级数、幂级数 第2页共109页 返回 第十二章富里埃级数和富里埃变换 全屏显示 关闭 退出 第十三章多元函数和极限与连续
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶✽Ù Ø ➼ ➮ ➞ ✶ÔÙ ➼ ➮ ➞ ✶❧Ù ➼➮➞✛❆❫Ú❈q❖➂ ✶✃Ù ê ➅ ❄ ê ✶➏Ù ✷ ➶ ➮ ➞ ✶➏➌Ù ➻ê➅❄ê✦➌❄ê ✶➏✓Ù ▲♣❉❄êÚ▲♣❉❈❺ ✶➏♥Ù õ✄➻êÚ✹⑩❺ë❨
第二部分 单变量积分学 第六章 不定积分 §1. 不定积分的概念及运算法则 访问主页 标题页 在第一部分中，我们将一元函数的微分运算，就是由给定的函数求出它的 炒 导数或微分.但在科学技术的许多问题中，往往需要解决和微分运算正好 相反的问题，就是函数的导数已知，而要求这个函数，这种运算就叫做求原 第3页共109页 函数，也就是求不定积分 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶✓Ü➞ ü❈þ➮➞➷ ✶✽Ù Ø ➼ ➮ ➞ § 1. Ø➼➮➞✛❱❣✾✩➂④❑ ✸✶➌Ü➞➙, ➲❶ò➌✄➻ê✛❻➞✩➂, Ò➫❞❽➼✛➻ê➛Ñ➜✛ ✓ê➼❻➞. ✂✸❽➷❊â✛◆õ➥❑➙, ✥✥■❻✮ûÚ❻➞✩➂✔Ð ❷❻✛➥❑, Ò➫➻ê✛✓ê➤⑧, ✌❻➛ù❻➻ê, ù➠✩➂Ò✗❽➛✝ ➻ê, ➃Ò➫➛Ø➼➮➞
一、不定积分的定义 定义若在某一区间上，F(x)=f(x),则在这个区间上，函数F(x)叫做函 景1.1.雨数 数f(x)的原函数. 显然，从定义可知，一个函数的原函数不是唯一的，因为[F(x)+C刚 F(z)=f(x)(C为任意常数)，所以若函数F(x)是函数f(x)的原函数， 访问主页 则F(x)+C(C为任意常数)也是f(x)的原函数.反过来，由拉格朗日定理 标题页 的推论可知，如果两个函数F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，那么它们至 N炒 多相差一个常数，即F(x)-G(x)=C.因此，f(x)有一个原函数F(x)时， 它就有无穷多个原函数，而且所有的原函数具有F(x)+C的形式；即函 第4页共109页 数f(x)的原函数的一般表达式是F(x)+C. 返回 全屏显示 关闭 退出
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1函数 我们把函数f(x)的原函数的一般表达式称为f(x)的不定积分，记 为∫f(a)dx.这里，fx)称为被积函数，“∫”称为积分号. 例如，已知(sinx)'=cosx,即sinx是cosx的一个原函数，于是cosx的原 访问主页 函数的一般表达式就是sinx+C,也就是cosx的不定积分，即 标题页 炒 cosxdx sinx+C 第5页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出
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二、不定积分的基本公式 1.1.雨数 有不定积分的定义可知 =f) 访问主页 或 ∫f'(z)dx=f(x)+C 标题页 这就充分显示，求不定积分就是微分运算的逆运算.因此，有一个导数公式， 炒 就对应地有一个不定积分公式，于是，可以得到下列基本公式，也常称基本 积分表：其中C称为积分常数 第6页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出
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da=x+C kdx kx+C a++1+Ca≠-0 1 xodx = 1函数 f-iro 访问主页 cos xdx sinx+C 标题页 sin adx =-cosx+C 炒 sec2 xdx tanx+C 第7页共109页 csc2 xdz =-cot x+C 返回 全屏显示 secxtanxda secx+C 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Z dx = x + C Z kdx = kx + C Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 + C ( α 6= −1) Z 1x dx = ln |x| + C Z cos xdx = sin x + C Z sin xdx = − cos x + C Z sec 2 xdx = tan x + C Z csc 2 xdx = − cot x + C Z sec x tan xdx = sec x + C
1+xd arctan+C 1 1-x2 =dx arcsinx+C e"dx=e"+C 1 a"dx a+C 访问主页 Ina 标题页 sinh xdx coshx+C 炒 cosh da sinhx+C 第9页共109页 dx -=-cothx+C 返回 sinh2 x dx 全屏显示 cosh2 tanhx+C 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Z 1 1 + x 2 dx = arctan x + C Z 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x + C Z e x dx = e x + C Z a x dx = 1 ln a a x + C Z sinh xdx = cosh x + C Z cosh dx = sinh x + C Z dx sinh 2 x = − coth x + C Z dx cosh 2 x = tanh x + C
对于∫d缸=nl+C,我们作如下的补充说明。 因lnx只是在x>0时才有意义，故公式 -dx=Inx+C 1函数 仅当x>0时才成立.但当x0和x<0时的两个公式合并写成一个公式. 返回 全屏显示 =a+c 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ é ✉ R 1x dx = ln |x| + C , ➲ ❶ ❾ ❳ ❡ ✛ Ö ➾ ❵ ➨ . Ï ln x ➄ ➫ ✸ x > 0 ➒ â ❦➾➶ , ✙ ú ➟ Z 1x dx = ln x + C ❂ ✟ x > 0 ➒ â ↕ á . ✂✟ x 0 Ú x < 0 ➒ ✛ ü❻ú ➟ Ü ➾ ✕ ↕ ➌❻ú ➟ . Z 1x dx = ln |x| + C
三、不定积分的运算法则 由个分运算法则，相应地就可以得到以下的不定积分的运算法则： f回±tet=∫ed±/ek 1.1. 雨数 kf()dz=k f(x)dx(k是常数) 为了说明第一个公式，只要说明等式右端的导数等于左端积分的被积函 访问主页 数f(x)士9(x)就可以了.对右端求导数，就有 标题页 N炒 第10页共109页 返回 =f(x)士g(x) 全屏显示 关闭 这个法则说明两个函数之和（差）的不定积分等于它们的不定积分之和（差） 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦Ø➼➮➞✛✩➂④❑ ❞❻➞✩➂④❑, ❷❆✴Ò➀➧✚✔➧❡✛Ø➼➮➞✛✩➂④❑: Z [f(x) ± g(x)]dx = Z f(x)dx ± Z g(x)dx Z kf(x)dx = k Z f(x)dx (k➫⑦ê) ➃✡❵➨✶➌❻ú➟, ➄❻❵➨✤➟♠à✛✓ê✤✉❺à➮➞✛✚➮➻ ê f(x) ± g(x)Ò➀➧✡. é♠à➛✓ê, Ò❦ Z f(x)dx ± Z g(x)dx0 = Z f(x)dx0 ± Z g(x)dx0 = f(x) ± g(x) ù❻④❑❵➨ü❻➻ê❷Ú(☛)✛Ø➼➮➞✤✉➜❶✛Ø➼➮➞❷Ú(☛)
类似地，可以证明 kf(a)dz=kf(z)dz 这个法则表明，在求不定积分是常数因子可以提到积分号外面.特别地， 访问主页 当k=-1时就有 [(-f(c))d = 标题页 f()dx “炒 下面我们举几个求积分的例子.以后如无特别说明，我们都用C表示任意 常数 第11页共109贝 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❛q✴, ➀➧②➨ Z kf(x)dx = k Z f(x)dx ù❻④❑▲➨, ✸➛Ø➼➮➞➫⑦êÏ❢➀➧❏✔➮➞Ò✠→. ❆❖✴, ✟k = −1➒Ò❦ Z (−f(x))dx = − Z f(x)dx ❡→➲❶Þ❆❻➛➮➞✛⑦❢. ➧❳➹❆❖❵➨, ➲❶Ñ❫C ▲➠❄➾ ⑦ê