课程代码：B052717,B052817座位号： 新疆大学2010一2011学年第一学期期末考试 《数学分析①)》试卷A及其答案 姓名： 学号： 专业： 学院： 数学与系统科学学院班级： 装 装林林 2011年1月13日 题号一二三四五六七八总分 订 林林 得分 线 得分评卷人 内 叙述题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 答 诗叙述下列定义或者定理. 1.诗叙述定义：函数fz)是奇函数。 题 答：设f)定义在数集A若红∈A,有-x∈A且f(-x)=-fr),则称函 数f(工)为奇函数 无 2.请叙球“复合函数”的定义 答：设函数=f)定义在数集B,函数y=()定义在数集A, 效 G={x|x∈A,(x)∈B}卡0. 红∈G,按照对应关系，对应唯一一个y∈B,在按照对应关系∫对应唯一 个2，即红G都对应唯一 2.于是在G上定义了一个函数，表为∫o0,称 线林 为函数彩=(x)与之=f()的复合函数，即(o)(x)=f儿(x小，红∈G. 3.设函数f()在a点的右边有定义，那么请叙述定义：imfx)=-o 答： 1imfr)=-←→B>0,36>0,c:a<x<x+d,有f)<-B. 数学分析四)试题第1页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** §èµB052717, B052817 Òµ #õÆ 2010—2011 Æc1ÆÏÏ"Á 5êÆ©Û(I)6Áò A 9ÙY 6¶µ ÆÒµ ;µ Ƶ êÆXÚÆÆ ?µ 2011 c 1 13 F KÒ n o Ê 8 Ô l o© © © µòk½Â, @oQã½Â: limx→a+ f(x) = −∞. : limx→a+ f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0, ∃δ > 0, ∀x : a < x < x + δ, k f(x) < −B. êÆ©Û(I)ÁK 1 1 £ 8 ¤
它的极限是唯一的 1.x∈E,有x≤B. 2.e>0,3ro∈E,有3-e<x0, 则称B是E的上确界，表为B=supE 数学分析四试题第2页（共8页）
4. Qã“ ê{an | n ∈ N+} 45½n”. : 5½n: eê {an | n ∈ N+} Âñ, K§4´. 5. E 8Ü, KQã“ E þ(.” ½Â. : e ∃β ∈ R, 1.∀x ∈ E, k x ≤ β. 2.∀ > 0, ∃x0 ∈ E, k β − < x0, K¡ β ´ E þ(., L β = sup E. êÆ©Û(I)ÁK 1 2 £ 8 ¤
得分评卷人 二、计算题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 解： DU)-{红im>0}={2kx<<2kx+x,k=0,士1，} -{2十1<x<乐k=0,1,士2，当k=0时，2永=+∞} 装 该面数的定义线为D0=心()当t=0时，京=+x k=0 订 2.求1im(1+)” 解： 1im(1+品)m=e,lim(1++)=1. 线 内 =+)广-▣ (1+)+1 m0+南) im1+点) 答 题 5n2+3n+1 无 3.求1im2m+n2+5 1 1 效 解：因为▣=0，▣产=0，m示=0，所以由极展的运算法则 线林 2+15 9+0+0n*京 一2+一+一月 2+0+0=0. 数学分析①试题第3页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** © µò 0 o = n x 2kπ < π x < 2kπ + π, k = 0, ±1, · · · o = x 1 2k + 1 < x < 1 2k , k = 0, ±1, ±2, · · · ,k = 0, 1 2k = +∞ ∴ T¼ê½Â D(f) = ±∞ [ k=0 1 2k + 1 , 1 2k , k = 0, 1 2k = +∞. 2. ¦ limn→∞ 1 + 1 n+1 n . ): ∵ limm→∞ 1 + 1 m m = e, limn→∞ 1 + 1 n+1 = 1. ∴ limn→∞ 1 + 1 n + 1n = limn→∞ (1 + 1 n+1 ) n+1 1 + 1 n+1 = limn→∞ 1 + 1 n+1 n+1 limn→∞ 1 + 1 n+1 = e 1 = e. 3. ¦ limn→∞ 5n 2 + 3n + 1 2n3 + n2 + 5 . ): Ï limn→∞ 1 n = 0, limn→∞ 1 n2 = 0, limn→∞ 1 n3 = 0, ¤±d4${K limn→∞ 5n 2 + 3n + 1 2n3 + n2 + 5 = limn→∞ 5 n + 3 n2 + 1 n3 2 + 1 n + 5 n3 = limn→∞ 5 n + limn→∞ 3 n2 + limn→∞ 1 n3 limn→∞ 2 + limn→∞ 1 n + limn→∞ 5 n3 = 0 + 0 + 0 2 + 0 + 0 = 0. êÆ©Û(I)ÁK 1 3 £ 8 ¤
4求四+cot) 解：令y=c0tx,则x一号→y一0.因为1m1+)=6,所以由极限运算 法则 in(1+cotr)m =lin (1+cotimg (e. 5.求极限lim 解：令y=至则工一0分y一0.因为四兽=1，所以由极限运算法则 -四-马（色）-（售- 6.求极限，lim尝 解：因为m2=0,im立=0，所以由板限运算法则 会兰学 1m22-5 m2-im多 数学分析四试题第4页（共8页）
4. ¦ lim x→π 2 (1 + cot x) tan x . ): - y = cot x, K x → π 2 =⇒ y → 0. Ï lim y→0 (1 + y) 1 y = e, ¤±d4$ {K lim x→π 2 (1 + cot x) tan x = lim x→π 2 h (1 + cot x) 1 cot x i = lim y→0 (1 + y) 1 y = e. 5. ¦4 limx→0 1−cos x 3x2 ): - y = x 2 , K x → 0 ⇔ y → 0. Ï lim y→0 sin y y = 1, ¤±d4${K limx→0 1 − cos x 3x 2 = limx→0 2 sin2 x 2 3x 2 = limx→0 1 6 sin x 2 x 2 2 = 1 6 lim y→0 sin y y 2 = 1 6 . 6. ¦4 lim x→−∞ x 2+x+1 2x2−5 . ): Ï lim x→−∞ 1 x = 0, lim x→−∞ 1 x2 = 0, ¤±d4${K lim x→−∞ x 2 + x + 1 2x 2 − 5 = lim x→−∞ 1 + 1 x + 1 x2 2 − 5 x2 = lim x→−∞ 1 + lim x→−∞ 1 x + lim x→−∞ 1 x2 lim x→−∞ 2 − lim x→−∞ 5 x2 = 1 + 0 + 0 2 − 0 = 1 2 . êÆ©Û(I)ÁK 1 4 £ 8 ¤
解： der 一arto-rar+t3 8.求函数f(x)=x血x的严格单调区间与极值. 解：D)=0,+x了回)=1+血五，若令f回=0，则得到稳定点x=上用 装 稳定点将D()分为 装 红e()有r回)0→f阳严卷增加 线 内 答 题 无 效 数学分析四)试题第5页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 7. ¦¼ê y = f(x) = e x sin x ê ê. ): dy dx = dex dx sin x + e x d sin x dx = e x sin x + e x cos x = e x (sin x + cos x). d 2 y dx2 = [e x (sin x + cos x)]0 = e x (sin x + cos x) + e x (cos x − sin x) = 2e x cos x. 8. ¦¼ê f(x) = x ln x îüN«m4. ): D(f) = (0, +∞), f0 (x) = 1 + ln x. e- f 0 (x) = 0, K½: x = 1 e . ^ ½:ò D(f) © 0, 1 e ! , 1 e , +∞ ! . ∀x ∈ 0, 1 e ,k f 0 (x) 0 =⇒ f(x) îO\ ¤± x = 1 e ´4:, f 1 e ! = − 1 e ´4. êÆ©Û(I)ÁK 1 5 £ 8 ¤
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1.用极限定义证明：m=3 证明：e>0,要使不等式 3n n+1 成立.解该不等式得到n>是.取N=[],则 e>0,3N= 即im架=3. 2.用极限定义证明：1ime2=0. 证明：He>0,要使不等式 le-0l et0,则 Ve >0,3A=-lne 0,Vr 0,要使 sin 1-0-2sin I 成立.解该不等式得到0,35=Ve>0,z:0<-0l<6有2sim2-0<6 即lim2sin上=0. 数学分析四试题第6页（共8页）
© µò 0, ¦Ø ª 3n n + 1 − 3 = 3n − 3n − 3 n + 1 = 3 n + 1 ≤ 3 n 3 . N = 3 , K ∀ > 0, ∃N = 3 , ∀n > N,k 3n n + 1 − 3 0, ¦Ø ª |e x − 0| = e x 0, K ∀ > 0, ∃A = − ln > 0, ∀x 0, ¦ x 2 sin 1 x − 0 = x 2 sin 1 x ≤ |x 2 | 0, ∃δ = √ > 0, ∀x : 0 < |x − 0| < δ, k x 2 sin 1 x − 0 < , = limx→0 x 2 sin 1 x = 0. êÆ©Û(I)ÁK 1 6 £ 8 ¤
。器料迪 证明：e>0,x1,2∈1，+o∞)，要使不等式 NG-=|国=+到- VE1+√E2 √E1+V2 ≤m1-20,36=2e>0,1,x2∈L,+oo):1-x2l0有十0,因为血x在c,x+刂连续，在(c,x+1)可导，所以由Lagrange 订 中值定理知道存在∈（红，工+1）使得 线 P十1-E 内 而 1 答 中0有中<(c+)-nx<是 效 数学分析①试题第7页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. ^½Ây²: ¼ê f(x) = √ x 3 [1, +∞) ëY. y²: ∀ > 0, ∀x1, x2 ∈ [1, +∞), ¦Ø ª | √ x1 − √ x2 | = ( √ x1 − √ x2 )(√ x1 + √ x2 ) √ x1 + √ x2 = |x1 − x2| √ x1 + √ x2 ≤ 1 2 |x1 − x2| 0, ∃δ = 2 > 0, ∀x1, x2 ∈ [1, +∞) : |x1 − x2| 0 k 1 1 + x 0 ,Ï ln x 3 [x, x+ 1] ëY, 3 (x, x+ 1) , ¤±d Lagrange ¥½n3 ξ ∈ (x, x + 1) ¦ (ln x) 0 |x=ξ = ln(x + 1) − ln x x + 1 − x ⇒ ln(x + 1) − ln x = 1 ξ 1 x + 1 0 k 1 x + 1 < ln(x + 1) − ln x < 1 x . êÆ©Û(I)ÁK 1 7 £ 8 ¤
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分) 证明“闭区间上连续函数的有界性定理”：若∫()在闭区间【血，)连续，则函 的以益特得山 If(x)-f(a)<1. 从而，x∈(a-6a,a+6a)n[a,b有 lf(z)I If(z)-f(a)l+lf(a)I<If(a)+1, 即a∈[a,函数f(r)在开区间(a-ia,a+6a)有界.显然，开区间集 {(a-da,a+da)la∈[a,} 覆盖闭区间[口，创，根据有限覆盖定理，存在有限个开区问 {(ag-iat,ak+da)la4∈[a,k=l,2,.,n} 也覆盖闭区间a,小，且z∈(ak-dak,a4+ia)n[a,创，有f(r川≤f(a川+l,k= 1.2,.,n.取 M=max{lf(a1)儿，lf(a2儿，.，lf(an)l}+1. 于是，z∈a,3a,d,i∈{1,2，.，n}使得x∈(a4-6a,a:+6a,)n[a,且 Ifx川≤Ifal+1≤M. 数学分析四试题第8页（共8页）
© µò 0, ∀x ∈ (α − δα, α + δα) ∩ [a, b] k |f(x) − f(α)| < 1. l ,∀x ∈ (α − δα, α + δα) ∩ [a, b] k |f(x)| ≤ |f(x) − f(α)| + |f(α)| < |f(α)| + 1, =∀α ∈ [a, b], ¼êf(x) 3m«m (α − δα, α + δα) k. w, m«m8 {(α − δα, α + δα)|α ∈ [a, b]} CX4«m [a, b]. âkCX½n, 3km«m {(αk − δαk , αk + δαk )|αk ∈ [a, b], k = 1, 2, · · · , n} CX4«m [a, b], ∀x ∈ (αk−δαk , αk+δαk )∩[a, b], k|f(x)| ≤ |f(αk)|+1, k = 1, 2, · · · , n. M = max {|f(α1)|, |f(α2)|, · · · , |f(αn)|} + 1. u´, ∀x ∈ [a, b], ∃αi , δi , i ∈ {1, 2, · · · , n} ¦ x ∈ (αi − δαi , αi + δαi ) ∩ [a, b] |f(x)| ≤ |f(αi)| + 1 ≤ M. êÆ©Û(I)ÁK 1 8 £ 8 ¤