第一章绪论 教学目的：掌握常微分方程的基本概念，会建立一些简单的常微分方程。 数学分析研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但大量实际问题中 反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出，而这些变量与它们的导数之间的关系确比较容易求 出。称联系着自变量、未知函数及它的导数（微分）的关系式为微分方程。 §1.1微分方程：某些物理过程的数学模型 例1：物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，测量得它的温度为4。=150C,10分钟后测量得温度为私=100°C,我 们要求决定此物体的温度和时间1的关系，并计算20分钟后物体的温度，这里我们假定空气的温度保持 为4。=24C 分析：首先根据牛顿冷却定理来建立数学模型，由于物体的温度变化与这一物体的温度和其所在介质温度 的老成比风。段物体在1时刻的温度为=)，。密衣示温度的变化。又因为站总是从高温物 体向低温物体传到，所以温差1一儿，>0，又因为物体随时间冷却，故温度的变化血0是比例常数。 程)中含有未知函数4及一阶导数化，所以我们称之为一阶微分方程：而我们要求的是拉 的温度和时间1的关系，所以需要我们求解方程(1.)，解得 ="。+ce地(1.2) 其中℃为任意常数，这是在一般情况下物体冷却过程中的温度与时间的变化关系，具有一般性，所以对方 程(1)而言，我们称之为微分方程的通解，注意因为是一阶微分方程，所以在其通解中只有一个任意常 数c 为了进一步求得在我们所给具体条件下的温度与时间的关系，根据题意给出一些定解条件。 如“初始条件”：当1=0时，u=,代入方程求得c=一4，于是 u=4.+(4-w)eh(1.3) 第1页共8页
第 1 页 共 8 页 第一章 绪论 教学目的：掌握常微分方程的基本概念，会建立一些简单的常微分方程。 数学分析研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但大量实际问题中， 反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出，而这些变量与它们的导数之间的关系确比较容易求 出。称联系着自变量、未知函数及它的导数（微分）的关系式为微分方程。 §1. 1 微分方程：某些物理过程的数学模型 例 1：物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，测量得它的温度为 0 u C =150 ，10 分钟后测量得温度为 1 u C =100 ，我 们要求决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系，并计算 20 分钟后物体的温度，这里我们假定空气的温度保持 为 24 a u C = 分析：首先根据牛顿冷却定理来建立数学模型，由于物体的温度变化与这一物体的温度和其所在介质温度 的差成比例。设物体在 t 时刻的温度为 u u t = ( ) ， du dt 表示温度的变化，又因为热量总是从高温物 体向低温物体传到，所以温差 0 a u u − ，又因为物体随时间冷却，故温度的变化 0 du dt 即得到数 学模型为： ( a ) (1.1) du k u u dt = − − ， 这里 k 0 是比例常数。 方程 (1.1) 中含有未知函数 u 及一阶导数 du dt ，所以我们称之为一阶微分方程。而我们要求的是物体 的温度 u 和时间 t 的关系，所以需要我们求解方程 (1.1) ，解得 (1.2) kt a u u ce − = + 其中 c 为任意常数，这是在一般情况下物体冷却过程中的温度与时间的变化关系，具有一般性，所以对方 程 (1.1) 而言，我们称之为微分方程的通解，注意因为是一阶微分方程，所以在其通解中只有一个任意常 数 c。 为了进一步求得在我们所给具体条件下的温度与时间的关系，根据题意给出一些定解条件。 如“初始条件”：当 t = 0 时， 0 u u = ，代入方程求得 0 a c u u = − ，于是 ( 0 ) (1.3) kt a a u u u u e − = + −
如果确定了k的值，(1.3)就完全决定了温度山与时间1的关系。在根据条件1=10，u=4,得到 4=%+(4-u)eot, 由此=h受之将以上各发据代入求有：051，从质 u=24+126ea05u(（1.4) 称(14)为方程(1.)的特解。根据方程(14)就可以计算出任何时刻1，物体的温度的数值。 通过方程1.4)我们还可以看出当1→0时，u→24C,，事实上，经过2小时，物体的温度就已经 接近24C了。 通过此例1，我们可以简单总结用微分方程解决实际问题的基本步骤： (】)建立实际问题的数学模型即建立反映这个实际问题的微分方程： (2)解这个微分方程： 用所得的数学结果解释实际问盟，从而预测到某些物理过程的特定性质。 (4) 注：建立一些实际问题的数学模型一般是比较困难的，这就婴求我们掌握各学科基础知识。其次，在建 立数学棋型时，我们只能考忠影响这个物理现象的一些主要因素，而忽略一些次要因素，否则所得到 微分方程变的复杂，无法用数学分析的方法研究其解的性质。 例2。数学摆的原理：数学摆是系于一根长度为的线上而质量为m的质点M,在重力作用下，它在垂 直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动。 分析：设取反时针运动的方向作为计算摆于铅垂线所成的角©的正方向，质点M沿圆周的切向速度v可 以表示为v=21,其中2表示角速度，1表示摆线长度，根据牛顿第二定律： at dt 培限mp, 将空1且代整理即司 器-9mp列 称方程(1.S)为二阶微分方程。当p比较小时，可以近似用p替代sip。则可得到微小振动时摆的 运动方程 +p=016 称方程(1.6)为二阶线性微分方程。 第2页共8页
第 2 页 共 8 页 如果确定了 k 的值， (1.3) 就完全决定了温度 u 与时间 t 的关系。在根据条件 1 t u u = = 10, ，得到 ( ) 10 1 0 k a a u u u u e − = + − ， 由此 0 1 1 ln 10 a a u u k u u − = − ，将以上各数据代入求得 k 0.051 ，从而 ( ) 0.051 24 126 1.4 t u e − = + ， 称 (1.4) 为方程 (1.1) 的特解。根据方程 (1.4) 就可以计算出任何时刻 t ，物体的温度 u 的数值。 通过方程 (1.4) 我们还可以看出当 t → 时， u C → 24 ，事实上，经过 2 小时，物体的温度就已经 接近 24 C 了。 通过此例 1，我们可以简单总结用微分方程解决实际问题的基本步骤： （1） 建立实际问题的数学模型即建立反映这个实际问题的微分方程； （2） 解这个微分方程； （3） 用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质。 （4） 注：建立一些实际问题的数学模型一般是比较困难的，这就要求我们掌握各学科基础知识。其次， 在建 立数学模型时，我们只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而忽略一些次要因素，否则所得到 微分方程变的复杂，无法用数学分析的方法研究其解的性质. 例 2. 数学摆的原理：数学摆是系于一根长度为 l 的线上而质量为 m 的质点 M ，在重力作用下，它在垂 直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动。 分析：设取反时针运动的方向作为计算摆于铅垂线所成的角 的正方向，质点 M 沿圆周的切向速度 v 可 以表示为 d v l dt = ，其中 d dt 表示角速度， l 表示摆线长度，根据牛顿第二定律： sin dv m mg dt = − ， 将 d v l dt = 且代入整理即得， ( ) 2 2 sin 1.5 d g dt l = − ， 称方程 (1.5) 为二阶微分方程。当 比较小时，可以近似用 替代 sin 。则可得到微小振动时摆的 运动方程 ( ) 2 2 0 1.6 d g dt l + = ， 称方程 (1.6) 为二阶线性微分方程
如果进一步考虑假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么沿者摆的运动方向就存在一个与速度v成比 例的阻力，如果阻力系数是“，则摆的运动方程变为 架+片出+p=0) 如果沿者摆的运动方向恒有一个外力F()作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为 器+品路+0-P00刘 当要确定摆销某一个特定的运动时。我们应该给出摆的初治状态：当=0时，口=风安=8，其中，风 代表摆的初始位置，©，代表摆的初始角速度。 本教材：我们主要掌握从以下四个方面学习：(1)掌握一些简单的常徽分方程的求解，(2)掌握常徽分方 程的基本理论，(3)掌握高阶线性徽分方程（线性微分方程组）的求解这是重点也是难点，(4)了 解现代定性理论的基本思想和方法。 §1.2基本概念 1、常徽分方程与偏徽分方程： 在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程：自变量的个数有两个 微分方程。在本教材我们主要研究常微分方程。 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。一般的阶微分方程用下列形式表示： dy 2、线性和非线性： 如果方列的在紫为y及密.票的-次有整式帮和9为和货性数分方是 d" 例如 盘-小 0 一般n阶线性微分方程具有形式： +a盟是++a2+a国y因0 dr" 特别的：若f(x)=0,(1.10)称为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程。 第3页共8页
第 3 页 共 8 页 如果进一步考虑假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么沿着摆的运动方向就存在一个与速度 v 成比 例的阻力，如果阻力系数是 ，则摆的运动方程变为 ( ) 2 2 0 1.7 d d g dt m dt l + + = 如果沿着摆的运动方向恒有一个外力 F t( ) 作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为 ( ) ( ) 2 2 1 1.8 d d g F t dt m dt l ml + + = 当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当 t = 0 时， 0 0 , d dt = = ，其中， 0 代表摆的初始位置， 0 代表摆的初始角速度。 本教材：我们主要掌握从以下四个方面学习：（1）掌握一些简单的常微分方程的求解，（2）掌握常微分方 程的基本理论，（3）掌握高阶线性微分方程（线性微分方程组）的求解这是重点也是难点，（4）了 解现代定性理论的基本思想和方法。 §1. 2 基本概念 1、常微分方程与偏微分方程： 在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数有两个 或两个以上，我们称为时偏微分方程。前面的例 1、例 2 均为常微分方程。 222 2 2 2 0 TTT x y z + + = 就是变 微分方程。在本教材我们主要研究常微分方程。 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。一般的 n 阶微分方程用下列形式表示： ( ) 2 2 , , , , , 0 1.9 n n dy d y d y F x y dx dx dy = 2、 线性和非线性： 如果方程 (1.9) 的左端为 y 及 , , n n dy d y dx dy 的一次有理整式，称 (1.9) 为 n 阶线性微分方程。 例如： ( a ) du k u u dt = − − ； 2 2 0 d g dt l + = 一般 n 阶线性微分方程具有形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1.10 n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx − + + + + = − − 特别的：若 f x( ) 0，(1.10) 称为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程
不是线性微分方程就称为非线性方程。如 -是smp dt 3、解和隐式解 如果函数y=p(x)代入方程(1.9)后，能使它变为恒等式，则称函数y=(x)是方程(1.9)的解：如 果关系式④(x,y)=0决定的隐函数y=p(x)是(1.9)的解，则称④(x,y)=0是(19)的隐式解 例如：一阶微分方程，念=-子有解y=F和y=一子，而关系式+P=1是其隐式锅 4、通解和特解 我们把含有n个独立的任意常数C,C2,Cn的解y=p(x,G,C2,.,C)称为n阶方程(1.9)的通解 同样，可以定义隐式通解，也称通积分。 对通解的几点说明：(1)一个n阶微分方程的通解包含n个独立常数G,C2,C,什么是独立常数？ 其含义是Jacobi行列式： 8p p 8p dc. dc. de. D[,o,.,p-]d p c,≠0 D[9,c2,.,c] apa-loa- 0c1 其中：p=p(xG,.,Cn）,p='(x,G,2,.,c)，.,p=-(x,G,2,） (2)设y=g(x,G1,C2,.,Cn)是充分光滑的函数族，其中x是自变量，G,C2,.,Cn是n个独立常数，则 存在一个形如(1.9)的n阶徽分方程，使得它的通解恰好是上面给定的函数族y=g(x,G,C2,c)· 例1：求双参数函数族 y=Ce'cosx+Ce'sinx (* 所满足的微分方程。 解：事实上，对上式两边关于x求导两次，得到： y'=Ce"(cosx-sinx)+C,e*(sinx+cosx)(1) y"=Ce*(-2sinx)+Ce*(2cosx) (2) 计算其Jacobi行列式： 第4页共8页
第 4 页 共 8 页 不是线性微分方程就称为非线性方程。如 2 2 sin d g dt l = − 。 3、解和隐式解 如果函数 y x = ( ) 代入方程 (1.9) 后，能使它变为恒等式，则称函数 y x = ( ) 是方程 (1.9) 的解；如 果关系式 = ( x y, 0 ) 决定的隐函数 y x = ( ) 是 (1.9) 的解，则称 = ( x y, 0 ) 是 (1.9) 的隐式解。 例如：一阶微分方程： dy x dx y = − ，有解 2 y x = −1 和 2 y x = − −1 ，而关系式： 2 2 x y + =1 是其隐式解。 4、 通解和特解： 我们把含有 n 个独立的任意常数 1 2 , , , n c c c 的解 y x c c c = ( , , , , 1 2 n ) 称为 n 阶方程 (1.9) 的通解， 同样，可以定义隐式通解，也称通积分。 对通解的几点说明：（1）一个 n 阶微分方程的通解包含 n 个独立常数 1 2 , , , n c c c ，什么是独立常数？ 其含义是 Jacobi 行列式： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , , , 0 , , , n n n n n n n n c c c D c c c D c c c c c c − − − − 其中： = ( x c c c , , , , 1 2 n )， = ( x c c c , , , , 1 2 n ) ， ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 , , , , n n n x c c c − − = 。 （2）设 y g x c c c = ( , , , , 1 2 n ) 是充分光滑的函数族，其中 x 是自变量， 1 2 , , , n c c c 是 n 个独立常数，则 存在一个形如 (1.9) 的 n 阶微分方程，使得它的通解恰好是上面给定的函数族 y g x c c c = ( , , , , 1 2 n ) 。 例 1：求双参数函数族 1 2 cos sin ( ) x x y C e x C e x = + 所满足的微分方程。 解：事实上，对上式两边关于 x 求导两次，得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 cos sin sin cos 1 2sin 2cos 2 x x x x y C e x x C e x x y C e x C e x = − + + = − + 计算其 Jacobi 行列式：
D[y,y']e"cosx e*sinx e2r≠0 D[C.C:]e*(cosx-sinx)e*(sinx+cosx) 说明(1)(2)中的两个任意常数C,和C是独立的，因此，求解(1)(2)可得： [C=e[y(sinx+cosx)-y'sinx] C:=e[y(sinx-cosx)+y'sinx] 代入()得到一个二阶微分方程， y"-2y'+2y=0 它就是函数族()所满足的微分方程。 练习题：(1)试求在(x,y)平面上过原点的一切圆所满足的微分方程。 略解：平面上过原点的圆族具有方程： (x+a)+(y+b)2=a2+b2 对其关于x连续两次求导，联立方程得到： [(x+a)+(y+b)y'=0 1+y2+(y+b)y=0, x2+2ar+y2+2by=0 消去a和b得到所求微分方程： (x2+y2）y-21+y2）(y-y)=0 为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，称其为定解条件。常 见的定解条件是训保休，耳，当时少%会冷一是-，求分方程是定都 条件的解就是定解问题，当定解条件为初始条件时，就是初值问题也称为柯西问题。称满足初始条件的解 为微分方程的特解。 5、积分曲线和方向场 前面学习了微分方程及其解的定义，下面将对这些定义针对一阶微分方程给出几何解释，根据这些几 何解释，可以从微分方程本身获取解的某些性质。 考虑一阶微分方程： =fx)010), dx 其中f(x,y)是平面区域D内的连续函数，假设y=(x)(x∈)是方程的解，其中I是解的存在区间， 第5页共8页
第 5 页 共 8 页 ( ) ( ) 2 1 2 , cos sin 0 , cos sin sin cos x x x x x D y y e x e x e D C C e x x e x x = = − + 说明（1）（2）中的两个任意常数 C1 和 C2 是独立的，因此，求解（1）（2）可得： ( ) ( ) 1 2 sin cos sin sin cos sin x x C e y x x y x C e y x x y x − − = + − = − + ， 代入 () 得到一个二阶微分方程， y y y − + = 2 2 0 它就是函数族 () 所满足的微分方程。 练习题：（1）试求在 ( x y, ) 平面上过原点的一切圆所满足的微分方程。 略解：平面上过原点的圆族具有方程： ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b a b + + + = + ， 对其关于 x 连续两次求导，联立方程得到： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 2 2 0 x a y b y y y b y x ax y by + + + = + + + = + + + = ， 消去 a 和 b 得到所求微分方程： ( ) ( )( ) 2 2 2 x y y y xy y + − + − = 2 1 0 为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，称其为定解条件。常 见的定解条件是初始条件，即，当 0 x x = 时， ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 , , , n n n dy d y y y y y dx dx − − − = = = ，求微分方程满足定解 条件的解就是定解问题，当定解条件为初始条件时，就是初值问题也称为柯西问题。称满足初始条件的解 为微分方程的特解。 5、 积分曲线和方向场 前面学习了微分方程及其解的定义，下面将对这些定义针对一阶微分方程给出几何解释，根据这些几 何解释，可以从微分方程本身获取解的某些性质。 考虑一阶微分方程： ( , 1.10 ) ( ) dy f x y dx = ， 其中 f x y ( , ) 是平面区域 D 内的连续函数，假设 y x x I = ( ) ( ) 是方程的解，其中 I 是解的存在区间
则y=(x)在y平面上是一条光滑的曲线『，我们称它为微分方程的积分曲线：微分方程的通解 y=(x,C)对应于xy平面上的一族曲线，我们称之为积分曲线族。满足初始条件y(:)=%的特解就是 通过点(x,%)的一条积分曲线。 由于函数f(xy)的定义域为D,对定义域内每一点P(x,y)∈D,在P点处作一小直线段，其斜率 为f(x,y),我们称这种带有直线段的区域D为方程(110)的方向场。 下面来研究方向场中的曲线与积分曲线的关系。 (1)任取一点∈「，设它的坐标为(x,%),则=()，由于y=p(x)满足微分方程(1.10) 所以根据微商的几何意义知，积分曲线在点的切线的斜率为：()=f(,(),它与方向场 中该点的方向是一致的。由此可知，方程(1.10)的任何一条积分曲线和它的方向场是吻合的。 (2)如果在区域D内有一条光滑曲线Λ：y=()x∈J与方程(1.10)的向量场吻合，则Λ是香 是微分方程(110)的一条积分曲线？即，曲线上每点的切线斜率刚好等于函数∫(x,y)在这点的值，则这 条曲线就是方程的积分曲线。（思考为什么？） 证明：在A上任取一点P(x,y)y=w(x),则A在P点的斜率为y=w(x),由于曲线A与向量 场是吻合的，所以曲线上P点处的斜率也满足f(x,(x)。因此有(x)=f(x,w(x)(x∈)，它蕴 酒曲线A是微分方程央=了(k,)的积分曲线。 通过上面的讨论我们可以知道：如果我们能够找到一条曲线与已知微分方程的方向场相吻合，那 么，这条曲线一定是该微分方程的某条积分曲线。这样，我们就不需求解微分方程，只要根据该微分方程 的方向场就可以判断积分曲线的形状。为我们分析问题和解决问题提供了帮助。 为了便于作出微分方程的方向场，我们往往将斜率相同的点放在一起讨论。在方向场中，方向相同 的点的几何轨迹称为等斜线，其方程为f(x,y)=k,等斜线简化了向量场中逐点构造的方法，从而有助 于积分曲线的近似作图 例2：作出下列微分方程的方向场： 分析：()原点0是方程的奇异点，方向场中的等斜线为二=k,即y=:,这说明斜率为k的所有点是 由直线y=x组成的，另一方面，直线y=:的斜率也是k,由此可见，直线y=:与该方程的方 第6页共8页
第 6 页 共 8 页 则 y x = ( ) 在 xy 平面上是一条光滑的曲线 ，我们称它为微分方程的积分曲线；微分方程的通解 y x c = ( , ) 对应于 xy 平面上的一族曲线，我们称之为积分曲线族。满足初始条件 y x y ( 0 0 ) = 的特解就是 通过点 ( x y 0 0 , ) 的一条积分曲线。 由于函数 f x y ( , ) 的定义域为 D ，对定义域内每一点 P x y D ( , ) ，在 P 点处作一小直线段，其斜率 为 f x y ( , ) ，我们称这种带有直线段的区域 D 为方程 (1.10) 的方向场。 下面来研究方向场中的曲线与积分曲线的关系。 （1）任取一点 P0 ，设它的坐标为 ( x y 0 0 , ) ，则 y x 0 0 = ( ) ，由于 y x = ( ) 满足微分方程 (1.10) ， 所以根据微商的几何意义知，积分曲线 在 P0 点的切线的斜率为： ( x f x x 0 0 0 ) = ( , ( )) ，它与方向场 中该点的方向是一致的。由此可知，方程 (1.10) 的任何一条积分曲线和它的方向场是吻合的。 （2）如果在区域 D 内有一条光滑曲线 = : y x x J ( ) 与方程 (1.10) 的向量场吻合，则 是否 是微分方程 (1.10) 的一条积分曲线？即，曲线上每点的切线斜率刚好等于函数 f x y ( , ) 在这点的值，则这 一条曲线就是方程的积分曲线。（思考为什么？） 证明：在 上任取一点 P x y y x ( , )( = ( )) ，则 在 P 点的斜率为 y x =( ) ，由于曲线 与向量 场是吻合的，所以曲线上 P 点处的斜率也满足 f x x ( , ( )) 。因此有 ( x f x x x J ) = ( , ( ))( ) ，它蕴 涵曲线 是微分方程 ( , ) dy f x y dx = 的积分曲线。 通过上面的讨论我们可以知道：如果我们能够找到一条曲线 与已知微分方程的方向场相吻合，那 么，这条曲线一定是该微分方程的某条积分曲线。这样，我们就不需求解微分方程，只要根据该微分方程 的方向场就可以判断积分曲线的形状。为我们分析问题和解决问题提供了帮助。 为了便于作出微分方程的方向场，我们往往将斜率相同的点放在一起讨论。 在方向场中，方向相同 的点的几何轨迹称为等斜线，其方程为 f x y k ( , ) = ，等斜线简化了向量场中逐点构造的方法，从而有助 于积分曲线的近似作图。 例 2：作出下列微分方程的方向场： （1） dy y dx x = （2） dy x dx y = − 分析：（1）原点 o 是方程的奇异点，方向场中的等斜线为 y k x = ，即 y kx = ，这说明斜率为 k 的所有点是 由直线 y kx = 组成的，另一方面，直线 y kx = 的斜率也是 k ，由此可见，直线 y kx = 与该方程的方
向场相吻合，所以，以原点o为中心的射线0=arctan=C(C是任意常数)是微分方程少=上 dx x 的积分曲线。 2》显然，原点0是方程的奇异点，而方向场的等斜线为-k,即y=一京，这说明直线)=一上 所有点的斜率等于k,故积分曲线在该直线上的点的切线斜率应与该直线垂直。所以，不难看出， 以0为中心的同心圆x2+y2=C(C>0是任意常数)是微分方程的积分曲线。 注：以上两小题可以通过计算求得其解进行验证。 例3：画出微分方程安=1+y的积分曲线及向量场。 解：找出向量场中的等斜线：令1+y=k, 当k=1时，得曲线xy=0,即为两坐标轴，也就是说过两坐标轴上的点的斜率为1。 当k=0时，得y=-1,在该双曲线上积分曲线上的点斜率为零，并且积分曲线上的点在该双曲线上 达到极值。又因为：y=y+x(1+y)=y,所以积分曲线在双曲线(y>0)上达极小值，在在双 曲线(y<0)上达极大值。为了更准确作出积分曲线，我们还需要求出它的拐点，易知积分曲线的 拐点位于曲线x+(x2+1)y=0上。具体图像见课本P15图(1.5) 归纳画出积分曲线的步骤： (1)先找出方向场中的等斜线。∫(x,y)=k (1)当k=0时，可求出积分曲线的极值点所在曲线，再利用∫(x,y)的符号判断曲线的单调性： （2)令(K)=0,即利用区》+k,)任》=0求积分曲线的拐点所在曲线。从而可以符 OX dy 到曲线的凹凸性。然后画出积分曲线。 (3)作业：P15习题1.2：2(2)(5)，3(2)(4)(6)(8)，4,5,6,7,9(1)(3)(5)(7) 补充习题： 1、求出：(1)曲线y=Cx+x2所满足的微分方程：(2)平面上一切圆所满足的微分方程。 2、作出下列微分方程的向量场及积分曲线 3.一个物体在距离平面的高度自由下落如海，己知物体在海水中受到重力W,浮力G,以及与物体 第7页共8页
第 7 页 共 8 页 向场相吻合，所以，以原点 o 为中心的射线 arctan y C x = = （ C 是任意常数）是微分方程 dy y dx x = 的积分曲线。 （2）显然，原点 o 是方程的奇异点，而方向场的等斜线为 x k y − = ，即 x y k = − ，这说明直线 x y k = − 上 所有点的斜率等于 k ，故积分曲线在该直线上的点的切线斜率应与该直线垂直。所以，不难看出， 以 o 为中心的同心圆 2 2 xyC + = （ C 0 是任意常数）是微分方程的积分曲线。 注：以上两小题可以通过计算求得其解进行验证。 例 3：画出微分方程 1 dy xy dx = + 的积分曲线及向量场。 解：找出向量场中的等斜线：令 1+ = xy k ， 当 k =1 时，得曲线 xy = 0 ，即为两坐标轴，也就是说过两坐标轴上的点的斜率为 1。 当 k = 0 时，得 xy = −1 ，在该双曲线上积分曲线上的点斜率为零，并且积分曲线上的点在该双曲线上 达到极值。又因为： y y x xy y = + + = (1 ) ，所以积分曲线在双曲线（ y 0 ）上达极小值，在在双 曲线（ y 0 ）上达极大值。为了更准确作出积分曲线，我们还需要求出它的拐点，易知积分曲线的 拐点位于曲线 ( ) 2 x x y + + = 1 0 上。具体图像见课本 P15 图 (1.5) ） 归纳画出积分曲线的步骤： （1）先找出方向场中的等斜线。 f x y k ( , ) = （1）当 k = 0 时，可求出积分曲线的极值点所在曲线，再利用 f x y ( , ) 的符号判断曲线的单调性； （2）令 f x y ( , 0 ) = ，即利用 ( ) ( ) , , ( ) , 0 f x y f x y f x y x y + = 求积分曲线的拐点所在曲线。从而可以得 到曲线的凹凸性。然后画出积分曲线。 （3）作业： P15 习题 1.2：2（2）（5），3（2）（4）（6）（8），4，5，6，7，9（1）（3）（5）（7） 补充习题： 1、求出：（1）曲线 2 y Cx x = + 所满足的微分方程；（2）平面上一切圆所满足的微分方程。 2、作出下列微分方程的向量场及积分曲线： （1） dy y dx x = ；（2） dy 2 2 x y dx = − 3. 一个物体在距离平面 h 的高度自由下落如海， 已知物体在海水中受到重力 W， 浮力 G， 以及与物体
的沉降速度成正比的阻力，比例系数为B.令物体在入水后1时刻离海面距离y=),试列出()所 满足的微分方程与初始条件 4设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体.该雪球在开始时的半 径为6cm,经过两小时后，其半径缩小为3cm,求雪球的体积随时间变化的关系。 5人工繁殖细菌时其增长率与当时的细菌数成正比.（山如果过4小时后的细菌数是原细菌数的2倍，那 么经过12小时后应有多少细菌？(2)如果在3小时时有细菌10个，在5小时有4×10个，那 么，在开始时有多少细菌？ 第8页共8页
第 8 页 共 8 页 的沉降速度成正比的阻力， 比例系数为 . 令物体在入水后 t 时刻离海面距离 y y t = ( ) ， 试列出 yt() 所 满足的微分方程与初始条件. 4 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例， 且在融化过程中它始终为球体. 该雪球在开始时的半 径为 6 cm , 经过两小时后， 其半径缩小为 3cm . 求雪球的体积随时间变化的关系。 5 人工繁殖细菌时其增长率与当时的细菌数成正比. (1) 如果过4小时后的细菌数是原细菌数的2倍，那 么经过 12 小时后应有多少细菌？ （2） 如果在 3 小时时有细菌 4 10 个， 在 5 小时有 4 4 10 个， 那 么， 在开始时有多少细菌？