课程代码：B052717,B052817 座位号： 新疆大学2008一2009学年第一学期期末考试 《数学分析(II)》试卷A及其答案 姓名 学号： 专业： 学院： 数学与系统科学学院 班级： 2009年1月16日 装 题号 二 三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 叙述题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 答 1.请叙述“z=Fx,)确定的隐函数存在定理” 答：若二元函数z=F(工，)在以点(0,0)为中心的矩形区域D满足下列条件； 题 1)F型与F在D连续 无 则（①6>0与3>0，r∈△=(0-d,0+)存在唯一一个（隐）函 效 数y=f(x),使得 Fz,f(x月=0，f(xo)=0,0-B<f(x)<0+B. 线 (2)y=f(x)在区间△连续 ③)=f回)在区问△有连续导数，且f)=- Fa过 2.请叙述“函数f(x)的无穷积分”的定义. 答：设函数f(x)在区间[a,+oo)(或(-0，(-oo,+oo)有定义，符 号f(x)d(或户fe)d,∫fe)d)称为函数f()的无穷积分. 数学分析（四试题第1页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➅➜➇è➭B052717, B052817 ➀➔Ò➭ ★õ➀➷ 2008—2009 ➷❝✶➌➷ÏÏ✧⑧➪ ✺ê➷➞Û(III)✻➪ò A ✾Ù❽❨ ✻➯➭ ➷Ò➭ ❀➆➭ ➷✓➭ ê➷❺❳Ú❽➷➷✓ ⑩❄➭ 2009 ❝ 1 ✛ 16 ❋ ❑Ò ➌ ✓ ♥ ♦ ✃ ✽ Ô ❧ ♦➞ ✚➞ ✚➞ ➭ò❁ ➌✦◗ã❑ ( ✢➀❑✁ 4 ✂❑➜③❑ 5 ➞➜✁ 20 ➞ ) 1. ➒◗ã“ z = F(x, y) ✭➼✛Û➻ê⑧✸➼♥.” ❽: ❡✓✄➻ê z = F(x, y) ✸➧✿ (x0, y0) ➃➙✪✛Ý✴➠➁ D ÷✈❡✎❫❻: (1) ∂F(x,y) ∂x ❺ ∂F(x,y) ∂y ✸ D ë❨; (2) F(x0, y0) = 0; (3) ∂F(x,y) ∂y |(x0,y0) 6= 0, ❑(1) ∃δ > 0 ❺ β > 0, ∀x ∈ ∆ = (x0 − δ, x0 + δ) ⑧✸➁➌➌❻(Û) ➻ ê y = f(x), ➛✚ F[x, f(x)] ≡ 0, f(x0) = y0, y0 − β < f(x) < y0 + β. (2) y = f(x) ✸➠♠ ∆ ë❨. (3) y = f(x) ✸➠♠ ∆ ❦ë❨✓ê, ❹ f 0 (x) = − ∂F (x,y) ∂x ∂F (x,y) ∂y . 2. ➒◗ã“ ➻ê f(x) ✛➹→➮➞” ✛➼➶. ❽: ✗ ➻ ê f(x) ✸ ➠ ♠ [a, +∞) (➼(−∞, b],(−∞, +∞)) ❦ ➼ ➶, ❰ Ò R +∞ a f(x)dx (➼ R b −∞ f(x)dx, R +∞ −∞ f(x)dx) →➃➻ê f(x) ✛➹→➮➞. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 1 ➄↔✁ 8 ➄↕
3.请叙述“无穷积分十ef(r)dr的Cauchy收敛准则.” 答：Cauchy收敛准则：无穷积分efr)dr收敛→ e>3A>a>Am>4有a恤0,A>a有1F(川 LA f(a)dx<K: ②)函数f回)是单调的，且1imf)=0, 则无穷积分∫+f(x)g(x)dx收敛. 数学分析四试题第2页（共8页）
3. ➒◗ã“ ➹→➮➞ R +∞ a f(x)dx ✛ Cauchy ➶ñ❖❑.” ❽: Cauchy ➶ñ❖❑: ➹→➮➞ R +∞ a f(x)dx ➶ñ⇐⇒ ∀ > 0, ∃A > a, ∀p1 > A, ∀p2 > A, ❦ Z p2 p1 f(x)dx 0, ∀A > a ❦ |F(x)| = R A a f(x)dx ≤ K; (2) ➻ê f(x) ➫ü◆✛, ❹ lim x→+∞ f(x) = 0, ❑➹→➮➞ R +∞ a f(x)g(x)dx ➶ñ. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 2 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 二、计算题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 求下列函数的系件极值： 80 a证=y+太 =+入贺=+g-1 都在3中连续.令 0驰 =y+入=0→y=-入 ad 装 装林林林林林 =x+入=0→x=-入， 订 =+g-1=0→+y=1 线 则得到入=一是→工=y=,即极值点为（红，列=（经，），极值为，= 2.求积分+ 内 解：由无穷积分酸敏的定义 答 Jh2+r-2= ，+2-=mg+20e- 题 1 无 效 -号，=r+2-e-8=号，=导-个 =-,+n2-2 线 数学分析（四试题第3页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ✚➞ ➭ò❁ ✓✦❖➂❑ ( ✢➀❑✁ 5 ✂❑➜③❑ 8 ➞➜✁ 40 ➞ ) 1. ➛❡✎➻ê✛❫❻✹❾: z = xy, é❳➄➜➫ x + y = 1. ✮: ❞ Lagrange ➛ê④, ✲ φ(x, y, λ) = xy + λ(x + y − 1), ❑ ∂φ ∂x = y + λ, ∂φ ∂y = x + λ, ∂φ ∂λ = x + y − 1 Ñ✸ R3 ➙ë❨. ✲ ∂φ ∂x = y + λ = 0 ⇒ y = −λ, ∂φ ∂y = x + λ = 0 ⇒ x = −λ, ∂φ ∂λ = x + y − 1 = 0 ⇒ x + y = 1, ❑✚✔ λ = − 1 2 ⇒ x = y = 1 2 , ❂✹❾✿➃ (x, y) = ( 1 2 , 1 2 ), ✹❾➃ z| ( 1 2 , 1 2 ) = 1 4 . 2. ➛➮➞ R +∞ 2 1 x2+x−2 dx. ✮: ❞➹→➮➞➶ñ✛➼➶ Z +∞ 2 1 x 2 + x − 2 dx = Z +∞ 2 1 (x + 2)(x − 1)dx = lim p→+∞ Z p 2 1 (x + 2)(x − 1)dx = lim p→+∞ Z p 2 − 1 3 1 x + 2 − 1 x − 1 dx = − 1 3 lim p→+∞ Z p 2 1 x + 2 dx − Z p 2 1 x − 1 dx = − 1 3 lim p→+∞ [ln(x + 2)| p 2 − ln(x − 1)| p 2 ] = − 1 3 lim p→+∞ ln p + 2 p − 1 − ln 4 = − 1 3 ln lim p→+∞ p + 2 p − 1 + 2 3 ln 2 = 2 3 ln 2. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 3 ➄↔✁ 8 ➄↕
3.求6ad 解：x=1是己的暇点.由暇积分收敛的定义 广a 1 1 =aresin6”=,iaresin(1-小-aresin 4.求dze-yd 解.刀 1与y轴围成的区城.由二重积分与累次积分之间的关系 改变累次积分的顺序，先对工后对积分.将D投影到轴得到区间0.1： y∈0，x从x=0到x=y变化.因此 人erw='erk-e =人er胸=人-v-0=-6=-ey 数学分析四试题第4页（共8页）
3. ➛ R 1 0 √ 1 1−x2 dx. ✮: x = 1 ➫ √ 1 1−x2 ✛❛✿. ❞❛➮➞➶ñ✛➼➶ Z 1 0 1 √ 1 − x 2 dx = lim η→0+ Z 1−η 0 1 √ 1 − x 2 dx = lim η→0+ arcsin x| 1−η 0 = lim η→0+ [arcsin(1 − η) − arcsin 0] = arcsin lim η→0+ (1 − η) = arcsin 1 = π 2 . 4. ➛ R 1 0 dx R 1 x e −y 2 dy. ✮: D ➫ y = x, y = 1 ❺y ➯➀↕✛➠➁. ❞✓➢➮➞❺❭❣➮➞❷♠✛✬❳, ❯❈❭❣➮➞✛❫❙, ❦é x é y ➮➞. ò D Ý❑✔ y ➯✚✔➠♠ [0, 1], ∀y ∈ [0, 1], x ❧ x = 0 ✔ x = y ❈③. Ï❞ Z 1 0 dx Z 1 x e −y 2 dy = Z 1 0 dy Z y 0 e −y 2 dx = Z 1 0 e −y 2 x| x=y x=0dy = Z 1 0 e −y 2 ydy = Z 1 0 − 1 2 e −y 2 d(−y 2 ) = − 1 2 e −y 2 | 1 0 = 1 2 (1 − e −1 ) = 1 2 − 1 2e . ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 4 ➄↔✁ 8 ➄↕
系来是我积含金致装保注香由00到 1=人2rt+r=[2x×rt+2x2h-er+2rh ==r6=1 装 订 线 内答 题 效 y/方 数学分析（四）试题第5页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 5. ➛✶✓✳➢❶➮➞ I = R C 2xydx + x 2dy, Ù➙ C : y = x 2 , ❞ (0, 0) ✔ (1, 1). ✮: ÷❳ C ❦ dy = 2xdx. ❞✶✓✳➢❶➮➞✛❖➂➄④❦ I = Z C 2xydx + x 2 dy = Z 1 0 2x × x 2 dx + x 2 × 2xdx = Z 1 0 (2x 3 + 2x 3 )dx = Z 1 0 4x 3 dx = x 4 | 1 0 = 1. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 5 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1。证明下列方程在指定点的邻域存在以工为自变量的隐函数，并求警：割= xe+1,点(0,1). 证明：令F(x,)=y-xe-1,则F(0,1)=1-0×e-1=0 F 盟=+w鼎→1-2=心→是- 2.证明广嘉证收敛 证明：因为∈1，+o0)有品≤m而 一乐甲 =V1-11. 所以由比较判剥法山收敛。再用比较判别法高血收敛 3.证明6冯d止收敛 证明：x=1是汽的暇点， 卿1-到@ (1-x)x3 气-卿a-+2 -即1+i0+网27-+e,A=2<1 所以由比较判别法6温收敛. 数学分析四试题第6页（共8页）
✚➞ ➭ò❁ ♥✦②➨❑ (✢➀❑✁ 5 ✂❑➜③❑ 6 ➞➜✁ 30 ➞ ) 1. ②➨❡✎➄➜✸➁➼✿✛✙➁⑧✸➧ x ➃❣❈þ✛Û➻ê, ➾➛ dy dx : y = xey + 1, ✿ (0, 1). ②➨: ✲ F(x, y) = y − xey − 1, ❑ F(0, 1) = 1 − 0 × e 1 − 1 = 0; ∂F ∂x = −e y , ∂F ∂y = 1 − xey ✸ R2 ë❨; ∂F ∂y |(0,1) = 1 − 0 × e 1 = 1 6= 0. ↕➧❞Û➻ê⑧✸➼♥ ∃δ > 0, ∀x ∈ (−δ, δ) ⑧✸➁➌➌❻❦ë❨✓ê✛Û➻ê y = f(x) ➛✚ F[x, f(x)] ≡ 0, f(0) = 1. é y = xey + 1 ✛ü❃➛✬✉ x ✛✓ê❦ dy dx = e y + xey dy dx ⇒ (1 − xey ) dy dx = e y ⇒ dy dx = e y 1 − xey . 2. ②➨ R +∞ 1 cos x x √ x+1 dx ➶ñ. ②➨: Ï➃ ∀x ∈ [1, +∞) ❦ cos x x √ x+1 ≤ 1 x √ x+1 . ✌ lim x→+∞ x 3 2 1 x √ x + 1 = lim x→+∞ r x x + 1 = r lim x→+∞ x x + 1 = √ 1 = 1 1. ↕➧❞✬✖✞❖④ R +∞ 1 1 x √ x+1 dx ➶ñ. ✷❫✬✖✞❖④ R +∞ 1 cos x x √ x+1 dx ➶ñ. 3. ②➨ R 1 0 √ x √ 1−x4 dx ➶ñ. ②➨: x = 1 ➫ √ x √ 1−x4 ✛❛✿. limx→1− (1 − x) 1 2 √ x √ 1 − x 4 = limx→1− (1 − x) 1 2 x 1 2 (1 − x 2 ) 1 2 (1 + x 2 ) 1 2 = limx→1− x 1 2 (1 + x) 1 2 (1 + x 2 ) 1 2 = 1 √ 2 √ 2 = 1 2 < +∞, λ = 1 2 < 1. ↕➧❞✬✖✞❖④ R 1 0 √ x √ 1−x4 dx ➶ñ. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 6 ➄↔✁ 8 ➄↕
4.用定义证明+oue-wdr在1,12l一致收敛. 证明：限定A>0.>0,u∈[1,12，要使不等式 -e=eu≤e-4ln.取A=max{0,n}>0,则 >03=ms0时>0A>,ae,回有/广e出0有T(a+1)=ar(a): 题 无 效 数学分析（四试题第7页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. ❫➼➶②➨ R +∞ 0 ue−xudx ✸ [1, 12] ➌➋➶ñ. ②➨: ⑩➼ A > 0. ∀ > 0, ∀u ∈ [1, 12], ❻➛Ø✤➟ Z +∞ A ue−xudx = Z +∞ A −e −xud(−ux) = −e −xu| x=+∞ x=A = e −uA = e −uA ≤ e −A ln 1 . ✒ A0 = max{0, ln 1 } > 0, ❑ ∀ > 0, ∃A0 = max{0, ln 1 } > 0, ∀A > A0, ∀u ∈ [1, 12], ❦ Z +∞ A ue−uAdx 0. ②➨: é α > 0 ❦ Γ(α + 1) = αΓ(α). ②➨: é α > 0, ❫ lim x→+∞ x α e −x = 0 íÑ Γ(α + 1) = Z +∞ 0 x α+1−1 e −x dx = Z +∞ 0 x α e −x dx = Z +∞ 0 −x α de−x = −x α e −x | x=+∞ x=0 + Z +∞ 0 αxα−1 e −x dx = α Z +∞ 0 x α−1 e −x dx = αΓ(α). Ï❞, é α > 0 ❦ Γ(α + 1) = αΓ(α). ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 7 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 证明：因为()=f(x,)dz在{a,一致收敛，所以由一致收敛的定 义e>0,Ao>a,A>Ao,u∈a,l,有f红，四d0，(3A0>0,A>A0,36>0,△4<d,有 o+a-ol=fe,o+at-广w =fe+t+/ f,o+△u-fe,od ≤eo+a-广fe+广fe,o+ah 即(u)在区间a,月连续。 数学分析四试题第8页（共8页）
✚➞ ➭ò❁ ♦✦♥Ü❑ ( ✢➀❑✁ 10 ➞ ) ❡➻ê f(x, u) ✸➠➁ D = {(x, u) ∈ R2 | x ∈ [a, +∞), u ∈ [α, β]} ë❨, ➹→➮ ➞ φ(u) = R +∞ a f(x, u)dx ✸➠♠ [α, β] ➌➋➶ñ, ❑②➨ φ(u) ✸ [α, β] ë❨. ②➨: Ï➃ φ(u) = R +∞ a f(x, u)dx ✸ [α, β] ➌➋➶ñ, ↕➧❞➌➋➶ñ✛➼ ➶ ∀ > 0, ∃A0 > a, A > A0, ∀u ∈ [α, β], ❦ R +∞ A f(x, u)dx 0, ∃δ > 0, |∆u| 0,(∃A0 > 0, ∀A > A0), ∃δ > 0, |∆u| < δ, ❦ |φ(u0 + ∆u) − φ(u0)| = Z +∞ a f(x, u0 + ∆u)dx − Z +∞ a f(x, u0)dx = Z A a f(x, u0 + ∆u)dx + Z +∞ A f(x, u0 + ∆u)dx − Z A a f(x, u0)dx − Z +∞ A f(x, u0)dx ≤ Z A a f(x, u0 + ∆u)dx − Z A a f(x, u0)dx + Z +∞ A f(x, u0 + ∆u)dx + Z +∞ A f(x, u0)dx < 3 + 3 + 3 = , ❂ φ(u) ✸➠♠ [α, β] ë❨. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 8 ➄↔✁ 8 ➄↕