林林 课程代码：B052717,B052817座位号： 林林 新疆大学2007一2008学年第一学期期末考试 《数学分析（①》试卷A及其答案 林林 姓名： 学号： 专业： *米 学院 数学与系统科学学院 班级： 2008年1月17日 *米 装 题号 四 五 六 七 八总分 * 订 得分 ** 线 得分评卷人 内 一、叙述题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 答 *米 1.请叙述定义：F是定义在数集A上的函数. 答：设A是非空数集.若存在对应关系人，对A中任意数x,按照对应关系人，对 题 应唯一一个y∈R,则称∫是定义在数集A上的函数，表为∫：A一R 2.请叙述定义：f(x)在数集A是有界函数. 无 * 答：设f(x)在数集A有定义.若函数值的集合 效 f(A)={f(x)|x∈A 有界，则称函数f(x)在数集A有界. * 3.设{anIn∈N+}为数列，a∈R,那么请叙述定义：imam=a. 答 iman=a→e>0,3N∈N+,n>N,有lan-al<e *米 * 林林 数学分析（四试题第1页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➅➜➇è➭B052717, B052817 ➀➔Ò➭ ★õ➀➷ 2007—2008 ➷❝✶➌➷ÏÏ✧⑧➪ ✺ê➷➞Û(I)✻➪ò A ✾Ù❽❨ ✻➯➭ ➷Ò➭ ❀➆➭ ➷✓➭ ê➷❺❳Ú❽➷➷✓ ⑩❄➭ 2008 ❝ 1 ✛ 17 ❋ ❑Ò ➌ ✓ ♥ ♦ ✃ ✽ Ô ❧ ♦➞ ✚➞ ✚➞ ➭ò❁ ➌✦◗ã❑ ( ✢➀❑✁ 5 ✂❑➜③❑ 4 ➞➜✁ 20 ➞ ) 1. ➒◗ã➼➶: f ➫➼➶✸ê✽ A þ✛➻ê. ❽: ✗A ➫➎➌ê✽. ❡⑧✸é❆✬❳ f, é A ➙❄➾ê x, ❯ìé❆✬❳ f, é ❆➁➌➌❻ y ∈ R,❑→ f ➫➼➶✸ê✽ A þ✛➻ê, ▲➃ f : A → R. 2. ➒◗ã➼➶: f(x) ✸ê✽ A ➫❦✳➻ê. ❽: ✗ f(x) ✸ê✽ A ❦➼➶. ❡➻ê❾✛✽Ü f(A) = {f(x) | x ∈ A} ❦✳, ❑→➻ê f(x) ✸ê✽ A ❦✳. 3. ✗{an | n ∈ N+} ➃ê✎, a ∈ R, ❅♦➒◗ã➼➶: limn→∞ an = a. ❽: limn→∞ an = a ⇐⇒ ∀ > 0, ∃N ∈ N+, ∀n > N, ❦ |an − a| < . ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 1 ➄↔✁ 8 ➄↕
4.设函数f(x)在(a,+oo)有定义，那么请叙述定义：，1imf(x)=-o∞ 答： ,imfg)=-o=B>0,3X>0,x>X,有f)<-B. 5.诗叙述定义：函数f(x)在a点连续. 答：设倒在a点的某个领城有定义：若mf=f,则称f回在a点连 续. 数学分析四试题第2页（共8页）
4. ✗➻ê f(x) ✸ (a, +∞) ❦➼➶, ❅♦➒◗ã➼➶: lim x→+∞ f(x) = −∞. ❽: lim x→+∞ f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0, ∃X > 0, ∀x > X, ❦ f(x) < −B. 5. ➒◗ã➼➶: ➻ê f(x) ✸ a ✿ë❨. ❽: ✗ f(x) ✸ a ✿✛✱❻✰➁❦➼➶. ❡ limx→a f(x) = f(a), ❑→ f(x) ✸ a ✿ë ❨. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 2 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 二、计算题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 0=1v6+4e=+4≥0={2-}-[+ 该面数的定义线为D=[多+）】 装 2.求板限m 装 解：因为m。=0,所以由极限的运算法则 订 1000n 1000 1im1000 线 1000 2+0=50. 内 3.求极限im(1+)” 答 解：因为m1+)”=6所以由板限运算法则 题 无 =+)^-s{+)}-{=+)y- 效 数学分析四试题第3页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ✚➞ ➭ò❁ ✓✦❖➂❑ ( ✢➀❑✁ 8 ✂❑➜③❑ 5 ➞➜✁ 40 ➞ ) 1. ➛➻ê f(x) = √ 3x + 4 ✛➼➶➁. ✮: ∵ D(f) = {x | √ 3x + 4 ∈ R} = {x | 3x + 4 ≥ 0} = x x ≥ − 4 3 = − 4 3 , +∞ ∴ ❚➻ê✛➼➶➁➃ D(f) = − 4 3 , +∞ . 2. ➛✹⑩ limn→∞ 1000n 2n+1 . ✮: Ï➃ limn→∞ 1 n = 0, ↕➧❞✹⑩✛✩➂④❑ limn→∞ 1000n 2n + 1 = limn→∞ 1000 2 + 1 n = limn→∞ 1000 limn→∞ 2 + limn→∞ 1 n = 1000 2 + 0 = 500. 3. ➛✹⑩ limn→∞ 1 + 5 n n . ✮: Ï➃ limm→∞ 1 + 1 m m = e, ↕➧❞✹⑩✩➂④❑ limn→∞ 1 + 5 n n = limn→∞ ( 1 + 5 n n 5 )5 = ( limn→∞ 1 + 5 n n 5 )5 = e 5 . ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 3 ➄↔✁ 8 ➄↕
4.求极限lim xsin是 解：令y=多，则x一+00台y一0+.因为m粤=1，所以由极限运算法则 =-8×g警8x1= 5.求极限，m1+)》护。 解：因为，m（1+)'=e,im本=0，所以由极限的运算法则 照+广-=+)+) ==+)=+) {照(+)} =×{1+典} =e×(1+0)-3=e. 6.求授限，m兰 解因为m六=0，m立=0，即之=0，m是=0，所以由极限运 算法则 誉点之 im。1-1im÷ -000-0 数学分析四试题第4页（共8页）
4. ➛✹⑩ lim x→+∞ x sin 3 x . ✮: ✲ y = 3 x , ❑ x → +∞ ⇔ y → 0 + . Ï➃ lim y→0+ sin y y = 1, ↕➧❞✹⑩✩➂④❑ lim x→+∞ x sin 3 x = lim x→+∞ sin 3 x 1 x = 3 lim x→+∞ sin 3 x 3 x = 3 × lim y→0+ sin y y = 3 × 1 = 3. 5. ➛✹⑩ lim x→+∞ 1 + 1 x+3 x . ✮: Ï➃ lim y→+∞ 1 + 1 y y = e, lim x→+∞ 1 x+3 = 0, ↕➧❞✹⑩✛✩➂④❑ lim x→+∞ 1 + 1 x + 3x = lim x→+∞ 1 + 1 x + 3x+3 × 1 + 1 x + 3−3 = lim x→+∞ 1 + 1 x + 3x+3 × lim x→+∞ 1 + 1 x + 3−3 = e × lim x→+∞ 1 + 1 x + 3−3 = e × lim x→+∞ 1 + lim x→+∞ 1 x + 3−3 = e × (1 + 0)−3 = e. 6. ➛✹⑩ lim x→+∞ 3x 4−2x 2−1 x5−x . ✮: Ï➃ lim x→+∞ 1 x5 = 0, lim x→+∞ 1 x3 = 0, lim x→+∞ 1 x4 = 0, lim x→+∞ 1 x = 0, ↕➧❞✹⑩✩ ➂④❑ lim x→+∞ 3x 4 − 2x 2 − 1 x 5 − x = lim x→+∞ 3 x − 2 x3 − 1 x5 1 − 1 x4 = lim x→+∞ 3 x − lim x→+∞ 2 x3 − lim x→+∞ 1 x5 lim x→+∞ 1 − lim x→+∞ 1 x4 = 0 − 0 − 0 1 − 0 = 0. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 4 ➄↔✁ 8 ➄↕
m =210h10+x10F(0m10)2 装 红∈(-o,-1),有f()>0→f(x)严格增加 装 红∈(-1,1)，有f'()0→f(x)严格增加 订 线 -框大美程-1+31-8秀板大出1果板小感 内 答 题 无 效 数学分析四试题第5页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 7. ➛➻ê y = f(x) = x10x ✛➌✣✓ê❺✓✣✓ê. ✮: dy dx = dx dx10x + x d10x dx = 10x + x10x ln 10 = 10x (1 + x ln 10). d 2 y dx2 = [10x (1 + x ln 10)]0 = 10x ln 10(1 + x ln 10) + 10x ln 10 = 210x ln 10 + x10x (ln 10)2 . 8. ➛➻ê f(x) = x 3 − 3x + 1 ✛î❶ü◆➠♠❺✹❾. ✮: D(f) = (−∞, +∞), f0 (x) = 3x 2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1). ❡✲ f 0 (x) = 0, ❑ ✚✔➢➼✿ x = −1, x = 1. ❫➢➼✿ò D(f) ➞➃ (−∞, −1), (−1, 1),(1, +∞). ∀x ∈ (−∞, −1),❦ f 0 (x) > 0 =⇒ f(x) î❶❖❭ ∀x ∈ (−1, 1),❦ f 0 (x) 0 =⇒ f(x) î❶❖❭ ↕➧ x = −1 ➫✹➀✿, f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 ➃✹➀❾; x = 1 ➫✹✂✿, f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 ➫✹✂❾. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 5 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） .用极限定义证明， m朵=多 证明：>0，要使不等 3n |6n-6m-3 3 2n+1-2 成立.解该不等式得到n>是.取N=[],则 e>0,3N [咖>有引0.e>0,要使不等式 +3小-3-3.取X=max{0,是-3，则 e>03x=mr{-3}>az>x有3-d0,要使不等式 3a+1-71=l3x-6=3(x-2l=3z-210，则 e>0,35=号>0，r:2<r<2+6有13x+1)-7<6 即im(3x+1)=7. 数学分析四试题第6页（共8页）
✚➞ ➭ò❁ ♥✦②➨❑ (✢➀❑✁ 5 ✂❑➜③❑ 6 ➞➜✁ 30 ➞ ) 1. ❫✹⑩➼➶②➨: limn→∞ 3n 2n+1 = 3 2 . ②➨: ∀ > 0, ❻➛Ø✤➟ 3n 2n + 1 − 3 2 = 6n − 6n − 3 2(2n + 1) = 3 2(2n + 1) ≤ 3 4n 3 4 . ✒ N = 3 4 , ❑ ∀ > 0, ∃N = 3 4 , ∀n > N,❦ 3n 2n + 1 − 3 2 0. ∀ > 0, ❻➛Ø✤➟ 1 x + 3 − 0 = 1 x + 3 = 1 x + 3 1 − 3. ✒ X = max{0, 1 − 3}, ❑ ∀ > 0, ∃X = max 0, 1 − 3 > 0, ∀x > X, ❦ 1 x + 3 − 0 0, ❻➛Ø✤➟ |3x + 1 − 7| = |3x − 6| = |3(x − 2)| = 3|x − 2| 0, ❑ ∀ > 0, ∃δ = 3 > 0, ∀x : 2 < x < 2 + δ, ❦ |(3x + 1) − 7| < , ❂ limx→2+ (3x + 1) = 7. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 6 ➄↔✁ 8 ➄↕
4.用定义证明：函数f(x)=x2在（-1,1)一致连续 证明：e>0,x1,2∈(-1.1)，要使不等式 lr号-x=l(-x2(1+x2训≤(0l+2l0lm1-l≤21-x2l0，则 e>0,36=5>0,m,∈(-1,1)：-<6有-<6 即f(x)=x2在(-1,1)一致连续. 5.证明：对z,y∈R有|sinx-sin≤x- 证明：任取x,y∈R,x≠y,则siz在E,(或，x)连续，在(z,)(或(y,x) 可导，所以由Lagrange中值定理和|cos≤1知道存在∈(x,)(或(，x))使 装 ==血二sy→ir-siy=(oslr-)→sin-i≤k-l 订 T-4 线 林林林 若x=y,自然有|sinx-sin=0=z-.综上 |sinx-sin≤lz-l,x,y∈R 内 答 题 无 效 数学分析四试题第7页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 4. ❫➼➶②➨: ➻ê f(x) = x 2 ✸ (−1, 1) ➌➋ë❨. ②➨: ∀ > 0, ∀x1, x2 ∈ (−1, 1), ❻➛Ø✤➟ |x 2 1 − x 2 2 | = |(x1 − x2)(x1 + x2)| ≤ (|x1| + |x2|)|x1 − x2| ≤ 2|x1 − x2| 0, ❑ ∀ > 0, ∃δ = 2 > 0, ∀x1, x2 ∈ (−1, 1) : |x1 − x2| < δ, ❦ |x 2 1 − x 2 2 | < , ❂ f(x) = x 2 ✸ (−1, 1) ➌➋ë❨. 5. ②➨: é ∀x, y ∈ R ❦ |sin x − sin y| ≤ |x − y|. ②➨: ❄✒ x, y ∈ R, x 6= y, ❑ sin z ✸ [x, y] (➼[y, x]) ë❨, ✸ (x, y) (➼(y, x)) ➀✓, ↕➧❞ Lagrange ➙❾➼♥Ú | cos z| ≤ 1 ⑧✗⑧✸ ξ ∈ (x, y) (➼ (y, x) )➛ ✚ (sin z) 0 |z=ξ = sin x − sin y x − y ⇒ sin x−sin y = (cos ξ)(x−y) ⇒ |sin x−sin y| ≤ |x−y|. ❡ x = y, ❣✱❦ |sin x − sin y| = 0 = |x − y|. ♥þ |sin x − sin y| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ R. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 7 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 复求并正丽“薇密性定迎” 必有收敛子数列{a} 有限印结论成立。 ·=ant=.,则常 至少存在 个点，以下证明存在于数列收致于将限浆定义 取e=1,3a1∈U(5,1): 取e=23a∈U(6,要求n<, 取e=了3aseU(飞，要求n< 取c=3a∈U,要求n<n 取e=3h:∈U飞，要求m1<n 得到子数列{a}满足a:-<是从而ma:=5,即子数列an}收敛 总之，结论成立 数学分析四试题第8页（共8页）
✚➞ ➭ò❁ ♦✦♥Ü❑ ( ✢➀❑✁ 10 ➞ ) ◗ã➾②➨“➋➋✺➼♥”. ➋➋✺➼♥: ❦✳ê✎ {an} ✼❦➶ñ❢ê✎ {ank }. ②➨: ❡ê✎ {an} ❦➹⑩õ➅❷✤, ✗ an1 = an2 = an3 = · · · = ank = · · · , ❑⑦ êê✎ {ank } ➃➶ñ✛❢ê✎, ❂✭Ø↕á. ❡ê✎ {an} ✈❦➹⑩õ➅❷✤, ❑❞à✿➼♥⑧✗✽Ü E = {a1, a2, a3, a4, · · · } ➊✟⑧✸➌❻à✿. ➧❡②➨⑧✸❢ê✎ {ank } ➶ñ✉ξ. ❾âà✿➼➶⑧✗ ✒ = 1, ∃an1 ∈ U(ξ, 1). ✒ = 1 2 , ∃an2 ∈ U(ξ, 1 2 ),❻➛ n1 < n2. ✒ = 1 3 , ∃an3 ∈ U(ξ, 1 3 ),❻➛ n2 < n3. ✒ = 1 4 , ∃an4 ∈ U(ξ, 1 4 ),❻➛ n3 < n4. · · · ✒ = 1 k , ∃ank ∈ U(ξ, 1 k ),❻➛ nk−1 < nk. · · · ✚✔❢ê✎ {ank } ÷✈ |ank − ξ| < 1 k . ❧✌ lim k→∞ ank = ξ, ❂❢ê✎{ank } ➶ñ. ♦❷, ✭Ø↕á. ê➷➞Û(I)➪❑ ✶ 8 ➄↔✁ 8 ➄↕