第八节函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程： 一、函数的连续性 对y=f),当自变量从x。变到x,称△x=x-x叫自变量x的增量，而 Ay=+x)-f)叫函数y的增量. 定义设函数y=fx)在点x的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量△x=x-x。 趋于零时，对应的函数的增量△y=f+x)-fx)也趋于零，那么就称函数y=fx)在 点x连续 它的另一等价定义是：设函数y=fx)在点x。的某一邻域内有定义，如果函数f八x)当 x→x时的极限存在，且等于它在点处的函数值fk),即mfx)=fx),那么就 称函数y=f)在点x。连续. 下面给出左连续及右连续的概念。 如果mf(x)=fx。-0)存在且等于fx),即fk。-0)=fx),就说函数fx) 在点左连线.如果，职)=f,+0)存在且等于心小，即化，+0)=f) 就说函数fx)在点x,右连续。 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 二、函数的间断点 设函数fx)在点x。的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情 形之一： 1.在x=x。没有定义： 2.虽在x=x有定义，但m)不存在：
第八节 函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程： 一、函数的连续性 对 y = f (x) ，当自变量从 0 x 变 到 x ， 称 0 x = x − x 叫自变量 x 的 增量，而 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 叫函数 y 的增量． 定义 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量 0 x = x − x 趋于零时，对应的函数的增量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 也趋于零，那么就称函数 y = f (x) 在 点 0 x 连续． 它的另一等价定义是：设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某一邻域内有定义，如果函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限存在，且等于它在点 0 x 处的函数值 ( ) 0 f x ，即 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = → ，那么就 称函数 y = f (x) 在点 0 x 连续． 下面给出左连续及右连续的概念． 如果 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = − → − f x f x x x 存在且等于 ( ) 0 f x ，即 ( ) ( ) 0 0 0 f x − = f x ，就说函数 f (x) 在点 0 x 左连续．如果 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = + → + f x f x x x 存在且等于 ( ) 0 f x ，即 ( ) ( ) 0 0 0 f x + = f x ， 就说函数 f (x) 在点 0 x 右连续． 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点 设函数 f (x) 在点 0 x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数 f (x) 有下列三种情 形之一： 1．在 0 x = x 没有定义； 2．虽在 0 x = x 有定义，但 f (x) x x0 lim → 不存在；
3.虽在x=,有定义，且mf)存在，但mf)≠fx): 则函数x)在点x。为不连续，而点x。称为函数f)的不连续点或间断点 下面我们来观察下述几个函数的曲线在x=1点的情况，给出间断点的分类： ①y=x+1 ®少= x-1 在x=1连续。 在x=1间断，x→1极限为2. x+1,x<1 y={x,x21 在x=1间断，X 在x=1间断， x→1左极限为2，右极限为1. 在x=1间断x一0 在x=0间断，x→0极限不存在。 像②③④这样在x。点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③ 称作第一类间断的可补间断，此时只要令0)=2，则在x=1函数就变成连续的了：④被
y 在 间断 1 x ⑤ 1 1 − = x y ， = 。 − = → 1 1 1 lim 1 x x x 3．虽在 0 x = x 有定义，且 f (x) x x0 lim → 存在，但 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x → ； 则函数 f (x) 在点 0 x 为不连续，而点 0 x 称为函数 f (x) 的不连续点或间断点． 下面我们来观察下述几个函数的曲线在 x =1 点的情况，给出间断点的分类： 在 x =1 连续． 在 x =1 间断， x →1 极限为 2． 在 x =1 间断， x →1 极限为 2． 在 x =1 间断， x →1 左极限为 2，右极限为 1． 在 x = 0 间断， x → 0 极限不存在． 像②③④这样在 0 x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③ 称作第一类间断的可补间断，此时只要令 y(1) = 2 ，则在 x =1 函数就变成连续的了；④被 y 1 x 1 2 −1 ① y = x +1 y 1 x 1 2 −1 ② 1 1 2 − + = x x y ③ + = 1 1 1 1 x x x y ， ， y 1 x 1 2 −1 ④ + = 1 1 1 x x x x y ， ， y 1 x 1 2 −1 ⑥ x y 1 = sin
称作第一类间断中的跳跃间断.⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作 震荡间断。 就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x。是函数x)的间断点，但左极限 fx。-0)及右极限fx。+0)都存在，那么x。称为函数fx)的第一类间断点.不是第一类 间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去 间断点，不相等者称为跳跃间断点，无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点 [sin x ,x0 x=0处连续 解：)在x=0处连续⊙邮因)=m)=∫0 因为巴-如+-6.-1,0=a 所以a=b=l时，f()在x=0处连续. 例2求下列函数的间断点并进行分类 、)s1 x+1 分析：函数在x=一1处没有定义，所以考察该点的极限。 期财包-小= ,但f(x)在x=-1处没有定义 所以x=一1是第一类可去间断点 -s,e0 1,x=0 分析：x=0是分段函数的分段点，考察该点的极限 标，因为巴如0，商0=1 所以x=0是第一类可去间断点。 总结：只要改变或重新定义国)在处的值，使它等于心 ，就可使函数在可去间 断点X0处连续. x+1,x20 f=x-1,x<0 3
称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作 震荡间断． 就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果 0 x 是函数 f (x) 的间断点，但左极限 ( 0) f x0 − 及右极限 ( 0) f x0 + 都存在，那么 0 x 称为函数 f (x) 的第一类间断点．不是第一类 间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去 间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点． 例 1 确定 a、b 使 + = = , 0 1 sin , 0 , 0 sin ( ) b x x x a x x x x f x 在 x = 0 处连续． 解： f (x) 在 x = 0 处连续 lim ( ) 0 f x x → + lim ( ) 0 f x x→ − = = f (0) 因为 b b x f x x x x = = + → + → + 1 lim ( ) lim sin 0 0 ； 1 sin lim ( ) lim 0 0 = = → − → − x x f x x x ； f (0) = a 所以 a = b =1 时， f (x) 在 x = 0 处连续． 例 2 求下列函数的间断点并进行分类 1、 1 1 ( ) 2 + − = x x f x 分析：函数在 x = −1 处没有定义，所以考察该点的极限． 解：因为 lim ( 1) 2 1 1 lim 1 2 1 = − = − + − →− →− x x x x x ，但 f (x) 在 x = −1 处没有定义 所以 x = −1 是第一类可去间断点． 2、 = = 1 , 0. , 0, 1 sin ( ) x x x x f x 分析： x = 0 是分段函数的分段点，考察该点的极限． 解：因为 0 1 lim sin 0 = → x x x ，而 f (0) = 1 所以 x = 0 是第一类可去间断点． 总结：只要改变或重新定义 f (x) 在 0 x 处的值，使它等于 lim ( ) 0 f x x→x ，就可使函数在可去间 断点 0 x 处连续． 3、 − + = 1 , 0. 1 , 0, ( ) x x x x f x
分析：X=0是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右 极限. 解：因为m)=x+)=1,mf)=mx-少=- 所以x=0是第一类跳跃间断点 分析：函数在x=0处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限。 所以x=0是第一类跳跃间断点。 5、fx)=e 解：因为即f)=me=w 所以x=0是第二类无穷间断点 锅马=鸟如片板限不有在 所以X=0是第二类振荡间断点 本国=的5直.先持我分失 解：间断点：x=kπ(k=0,士1士2，) 当x=0时，因n ,故x=0是可去间断点 当X=标=机2时.因品后三，放=收=2内是无费 间断点 小结与思考： 本节介绍了函数的连续性，间断点的分类。 小表国=地是 分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数，找出分段点，判断
分析： x = 0 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右 极限． 解：因为 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = + = → + → + f x x x x ； lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = − = − → − → − f x x x x 所以 x = 0 是第一类跳跃间断点． 4、 x f x 1 ( ) = arctan 分析：函数在 x = 0 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限． 解：因为 2 1 lim ( ) lim arctan 0 0 = = → + → + x f x x x ； 2 1 lim ( ) lim arctan 0 0 = = − → − → − x f x x x 所以 x = 0 是第一类跳跃间断点． 5、 x f x e 1 ( ) = 解：因为 = = + → + → + x x x f x e 1 0 0 lim ( ) lim 所以 x = 0 是第二类无穷间断点 6、 x f x 1 ( ) = sin 解： x f x x x 1 lim ( ) lim sin →0 →0 = 极限不存在 所以 x = 0 是第二类振荡间断点 7、求 x x f x sin ( ) = 的间断点，并将其分类． 解：间断点： x = k (k = 0,1,2, ) 当 x = 0 时，因 1 sin lim 0 = → x x x ，故 x = 0 是可去间断点． 当 x = k (k = 1,2, ) 时，因 = → x x x k sin lim ，故 x = k (k = 1,2, ) 是无穷 间断点． 小结与思考： 本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求 n n x x f x 2 1 1 ( ) lim + + = → 分析：通过极限运算，得到一个关于 x 的函数，找出分段点，判断．
x+1,-11 1，x=1 0，x=-l. 解：因为)=0=0.黑/)=mx+)=2 所以X=1是第一类跳跃间断点 因为画f=.x+)=0,m)=m0=0.f-)=0 所以x=-1是连续点. 作业：作业见作业卡
= − = + − = 0 , 1. 1 , 1 0 , 1 1 , 1 1 ( ) x x x x x f x 解：因为 lim ( ) lim 0 0 1 1 = = → + → + x x f x ； lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 = + = → − → − f x x x x 所以 x =1 是第一类跳跃间断点 因为 lim ( ) lim ( 1) 0 1 1 = + = + + →− →− f x x x x ； lim ( ) lim 0 0 1 1 = = − − x→− x→− f x ； f (−1) = 0 所以 x = −1 是连续点． 作业：作业见作业卡