第六节极限存在准则两个重要极限 教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要 极限求极限的方法。 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学难点：利用第二重要极限求极限的方法 教学过程 准则I如果数列{x}、{y}及{：}满足下列条件 (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3,.), ②)limy。=a,lim5n=a, 那么数列{x}的极限存在，且limx。=a 准则'如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件： (1)gx)≤fx)shx). (2)limg(x)=A,lim(x)=A, 那么limf(x)存在，且limf(x)=A, 注：在上面的定理中，记号“im”下面没有标明自变量的变化过程。实际上，定理对x→x 及x→0都是成立的。 准则I及准则I称为夹逼准则（或迫敛性准则）。 第一个重要极限 四g1 证如图，设圆心角∠40B=x(0<x<7
第六节 极限存在准则 两个重要极限 教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要 极限求极限的方法。 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学难点：利用第二重要极限求极限的方法 教学过程： 准则 I 如果数列 xn、yn 及 z n 满足下列条件 (1) ( 1,2,3, ) n n n y x z n = , (2) lim , lim n n n n y a z a → → = = , 那么数列 xn 的极限存在，且 lim n n x a → = 准则 I 如果函数 f x( ) 、 g x( ) 及 h x( ) 满足下列条件 (1) g x f x h x ( ) ( ) ( ) , (2) lim ( ) , lim ( ) g x A h x A = = , 那么 lim ( ) f x 存在 且 lim ( ) f x A = ． 注：在上面的定理中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程。实际上，定理对 0 x x → 及 x → 都是成立的。 准则 I 及准则 I称为夹逼准则（或迫敛性准则）。 第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x = ． 证 如图,设圆心角 = AOB x (0 ) 2 x , D B 1 O C A x
因为△AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积， 所以 2sinx<tanx 即 sn<n=s大话l 由偶函数性质。-行<x<0时也成立。 又limcosx=l 由准则'，即得 li sins 第1求回里 帮一-要回1 1-cosx 例2求1im m 例3求macs 令1=arcsinx,则1=sinx,当x→0时，有t→0.于是由复合函数的极限运算法则 得 四=点 解令t=1/x.当x→+∞时，t→0. wn-1 解令1=-x,则sinx=sin(-f)=sint.当x→0时，t→0 lim Sinx -1 都仁=四4“可+=412=8 sin4x 4x
因为 △AOB 的面积<圆扇形 AOB 的面积<△AOD 的面积， 所以 1 1 1 sin tan , 2 2 2 x x x 即 sin tan cos 1. sin x x x x x x 由偶函数性质， 0 2 x − 时也成立。 又 0 limcos 1 x x → = 由准则 I，即得 0 sin lim 1 x x → x = 例 1 求 0 tan lim . x x → x 解 0 0 0 0 tan sin 1 sin 1 lim lim( ) lim lim 1. cos cos x x x x x x x → → → → x x x x x = = = 例 2 求 2 0 1 cos lim . x x → x − 解 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2sin sin sin 1 cos 1 1 1 1 2 2 2 lim lim lim lim( ) 1 . 2 2 2 2 ( ) 2 2 x x x x x x x x → → → → x x x x − = = = = = 例 3 求 0 arcsin lim . x x → x 解 令 t x = arcsin ,则 t x = sin ,当 x →0 时,有 t →0 .于是由复合函数的极限运算法则 得 0 0 arcsin lim lim 1. x t sin x t → → x t = = 例 4 求 1 lim sin . x x →+ x 解 令 t=1/x.当 x→+∞时，t→0. 0 1 sin lim sin lim 1. x t t x →+ → x t = = 例 5 求 sin lim . x x → − x 解 令 t x =− ,则 sin sin( ) sin x t t = − = .当 x→0 时，t→0. 0 sin sin lim lim 1. x t x t x t → → = = − 例 6 求 0 sin 4 lim . 1 1 x x → x + − 解 0 0 sin 4 sin 4 lim lim4 ( 1 1) 4 1 2 8 x x 1 1 4 x x x → → x x = + + = = + − ．
准则工单调有界数列必有极限. 准则IⅡ的几何解释： 以单调增加数列为例，数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限龙 近于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生. 准则I'设函数∫(x)在点x,的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x的左极限 f(x)必定存在。 注：如果xn≤x1,n∈N,就称数列{xn}是单调增加的：如果x,≥x,n∈N,就称数 列{x}是单调减少的。单调增加和单调减少数列统称为单调数列。 第二个重要极限 m+分=e或m1+=e 其中e是个无理数，它的值是 e=2718281828459045. 变形形式： lim(1+a)=e 例7求m0-子y 解令u=-乏当x→0时，u0 ml-3=m+>=m+r=e2 例8求1m1+2x. 解令1=2x,则上=2.当x→0时，私→0. x lim(1+2x)=[lim(1+)=e2 小结与思考： 本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法。 1.求lim coscos京cos克： 2.设有k个正数a,4,.,4,令a=max{a,4,a 求m匠+G+.+d(“大数优先”准则). 解：a=d≤G+g5++dG≤+d++d=d=Ra
准则 II 单调有界数列必有极限 准则 II 的几何解释: 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋 近于某一定点 A 而对有界数列只可能后者情况发生． 准则 II 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个左邻域内单调并且有界，则 f x( ) 在 0 x 的左极限 0 f x( ) − 必定存在。 注：如果 1 , n n x x n N+ + ，就称数列 xn 是单调增加的；如果 1 , n n x x n N+ + ，就称数 列 xn 是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列． 第二个重要极限 1 lim(1 )n n e → n + = 或 1 lim(1 )x x e → x + = 其中 e 是个无理数 它的值是 e = 2 718281828459045 变形形式： 1 0 lim(1 ) e → + = 例 7 求 2 lim(1 ) . x x x − → − 解 令 2 x u = − .当 x → 时, u →. 2 1 1 2 2 2 lim(1 ) lim(1 ) [lim(1 ) ] . x u u x u u e x u u − → → → − = + = + = 例 8 求 1 0 lim(1 2 ) . x x x → + 解 令 u x = 2 ，则 1 2 x u = .当 x →0 时, u →0 . 1 1 2 2 0 0 lim(1 2 ) [lim(1 ) ] . x u x u x u e → → + = + = 小结与思考： 本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法． 1．求 2 lim cos cos cos 2 2 2n n x x x → ； 解：原极限= sin sin lim lim 1( 0) 2 sin 2 n n n n x x x → → x x = = ． 2．设有 k 个正数 1 2 , , , k a a a ，令 a a a a = max , , , 1 2 k， 求 1 2 lim n n n n k n a a a → + + + （“大数优先”准则）． 解： 1 2 n n n n n n n n n n n n n k a a a a a a a a ka ka = + + + + + + = =
而Iim瓜a=a,所以由夹逼准则：limG+a++aG=a 作业：作业见作业卡
而 lim n n ka a → = ，所以由夹逼准则： 1 2 lim n n n n k n a a a a → + + + = 作业：作业见作业卡