第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的：了解连续函数的和、差、积及商的连续性，了解反函数与复合函数的 连续性和初等函数的连续性，并会应用这些性质， 教学重点：连续函数的和、差、积及商的连续性，反函数与复合函数的连续性和 初等函数的连续性 教学难点：利用反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性 教学过程： 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可以得出下面的定理。 定理1若函数∫x),g(x)都在点连续，则函数 也在点x连续。 我们仅证明fx)±gx)在点连续。 设Fx)=fx)土gx) 由式(15)及函数在点飞连续的定义，有 limF()=lim/x)±gxj=im/)±lim8x)=fo)±8()=F() 这就证明了函数fx)±gx)在点x连续 类似可正0g,《得cr0在直%港线 例1因为amx=，c0x=0,由上节例2知smxc0sx都在(-0+四)内连线， 所以anx,cotx在它们的定义域内连续。 二、反函数与复合函数的违续性 下面仅给出关于反函数与复合函数的连续性的定理，证明从略。 定理2如果函数y=f(x)在区间1，上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函 数x=)也在对应的区间,={yy=fx),x∈}上单调增加（或单调减少）且连续。 例2由于y=smx在闭区间-受孕上单调增加且连续，所以它的反函数y=心nx在 闭区间-1，上单调增加且连续。 同理， =arccos在闭区间-L】上单调减少且连续： 产arctan在区间（一 +网)上单调增 加且连续：y=arccot在区间(-，∞)上单调减少且连续。即反三角函数在它们的定义域 内连续。 定理3设函数u=p(x)在点x=连续，且()=4，而函数y=∫(u)在点u=M连
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的：了解连续函数的和、差、积及商的连续性，了解反函数与复合函数的 连续性和初等函数的连续性，并会应用这些性质。 教学重点：连续函数的和、差、积及商的连续性，反函数与复合函数的连续性和 初等函数的连续性 教学难点：利用反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性 教学过程： 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可以得出下面的定理。 定理 1 若函数 f x g x ( ), ( ) 都在点 0 x 连续，则函数 f x g x ( ) ( ) ， f x g x ( ) ( ) ， 0 ( ) ( ( ) 0) ( ) f x g x g x 也在点 0 x 连续。 我们仅证明 f x g x ( ) ( ) 在点 0 x 连续。 设 F x f x g x ( ) ( ) ( ) = 由式(1-5)及函数在点 0 x 连续的定义，有 0 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x F x f x g x f x g x f x g x F x → → → → = = = = 这就证明了函数 f x g x ( ) ( ) 在点 0 x 连续。 类似可证 f x g x ( ) ( ) ， 0 ( ) ( ( ) 0) ( ) f x g x g x 在点 0 x 连续。 例 1 因为 sin tan cos x x x = ， cos cot sin x x x = ，由上节例 2 知 sin ,cos x x 都在 ( , ) − + 内连续， 所以 tan ,cot x x 在它们的定义域内连续。 二、反函数与复合函数的连续性 下面仅给出关于反函数与复合函数的连续性的定理，证明从略。 定理 2 如果函数 y f x = ( ) 在区间 x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函 数 1 x f y( ) − = 也在对应的区间 { | ( ), } y x I y y f x x I = = 上单调增加（或单调减少）且连续。 例 2 由于 y x = sin 在闭区间 [ , ] 2 2 − 上单调增加且连续，所以它的反函数 y x = arcsin 在 闭区间 [ 1,1] − 上单调增加且连续。 同理， y x = arccos 在闭区间 [ 1,1] − 上单调减少且连续； y x = arctan 在区间 ( , ) − + 上单调增 加且连续； y x = arccot 在区间 ( , ) − + 上单调减少且连续。即反三角函数在它们的定义域 内连续。 定理 3 设函数 u x =( ) 在点 0 x x = 连续，且 0 0 ( ) x u = ，而函数 y f u = ( ) 在点 0 u u = 连
续，那么复合函数y=几(x】在点x=x也是连续。 例3讨论函数y=sin的连续性。 解y=sm可看成y=sn以u=复合而成。而y=su在（←®，o)上连续，u=在 (-n,0U(0,+o)上连续，所以y=sin在(-o,0U0,+∞)上连续。 三、初等函数的连续性 前面我们证明了三角函数与反三角函数在它们的定义域内是连续的。 我们指出（不作证明）：指数函数y=ad(a>0,a≠1)在(-0，+o)上单调且连续，其值域 为(0，+)，由反函数的连续性可得，对数函数y=log。(a>0,a≠)在(0，+o)内单调且连续。 幂函数y=x“的定义域与4有关，但无论4为何值，y=x“在开区间(0，+0)内总是有定义 的。当x>0时，y=x=dn“,因此，它可以看成由y=e,y=ulnx复合而成，由定理15， 它在(0，+∞)内连续。对于“取各种不同值的情况分别加以讨论，则可以证明幂函数在它的 定义域内是连续的。 综合可得：基本初等函数在它们的定义域内是连续的。 根据初等函数的定义，基本初等函数的连续性及定理13、定理15可得：一切初等函数 在其定义区间内都是连续的。 利用初等函数的连续性求极限，往往比较方便 剑4求m0中 x 解因为n+=+x,而对数函数是连续的，所以 (shiishes! 小结与思考： 本节讲述了连续函数的和、差、积及商的连续性、反函数与复合函数的连续性和初等函 数的连续性。 .求m+。 解因为n+=lnl+xy,而对数函数是连续的，所以 ndhlindshea1 作业：作业见作业卡
续，那么复合函数 y f x = [ ( )] 在点 0 x x = 也是连续。 例 3 讨论函数 1 y sin x = 的连续性。 解 1 y sin x = 可看成 1 y u u sin , x = = 复合而成。而 y u = sin 在 ( , ) − + 上连续， 1 u x = 在 ( ,0) (0, ) − + 上连续，所以 1 y sin x = 在 ( ,0) (0, ) − + 上连续。 三、初等函数的连续性 前面我们证明了三角函数与反三角函数在它们的定义域内是连续的。 我们指出（不作证明）：指数函数 ( 0, 1) x y a a a = 在 ( , ) − + 上单调且连续，其值域 为 (0, ) + ，由反函数的连续性可得，对数函数 log ( 0, 1) a y x a a = 在 (0, ) + 内单调且连续。 幂函数 y x = 的定义域与 有关，但无论 为何值， y x = 在开区间 (0, ) + 内总是有定义 的。当 x 0 时， xln y x a = = ，因此，它可以看成由 y e x , ln = = 复合而成，由定理 15， 它在 (0, ) + 内连续。对于 取各种不同值的情况分别加以讨论，则可以证明幂函数在它的 定义域内是连续的。 综合可得：基本初等函数在它们的定义域内是连续的。 根据初等函数的定义，基本初等函数的连续性及定理 13、定理 15 可得：一切初等函数 在其定义区间内都是连续的。 利用初等函数的连续性求极限，往往比较方便。 例 4 求 0 ln(1 ) lim x x → x + 。 解 因为 1 ln(1 ) ln(1 ) x x x x + = + ，而对数函数是连续的，所以 1 1 0 0 0 ln(1 ) lim limln(1 ) ln lim(1 ) ln 1 x x x x x x x x e → → → x + = + = + = = 小结与思考： 本节讲述了连续函数的和、差、积及商的连续性、反函数与复合函数的连续性和初等函 数的连续性。 1． 求 0 ln(1 ) lim x x → x + 。 解 因为 1 ln(1 ) ln(1 ) x x x x + = + ，而对数函数是连续的，所以 1 1 0 0 0 ln(1 ) lim limln(1 ) ln lim(1 ) ln 1 x x x x x x x x e → → → x + = + = + = = 作业：作业见作业卡