第七章 空间解析儿何与向量代数 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中： 空间形式一点，线，面 数量关系一 坐标，方程（组） 基本方法一 坐标法：向量法
数量关系 — 第七章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数
第一为 第七章 向量及其钱性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 So☒
四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七章
一、向量的概念 向量：既有大小，又有方向的量称为向量（又称矢量） 表示法：有向线段MM2,或a,或a. 向量的模：向量的大小，记作MM2,或a,或a: 向径（矢径）：起点为原点的向量 自由向量：与起点无关的向量 M2 单位向量：模为1的向量，记作ā°或a° M 零向量：模为0的向量，记作0，或0 Oo⊙o8
表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量: (又称矢量). M1 M2 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若向量a与b大小相等，方向相同，则称a与b相等 记作a=b; 若向量a与b方向相同或相反，则称ā与b平行，记作 a川b；规定：零向量与任何向量平行； 与a的模相同，但方向相反的向量称为a的负向量， 记作-a; 因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称 两向量共线 若k(3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此k 个向量共面
规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： (a+B)+c a+b b+c a+(B+c) a d+6 三角形珍法则： a+b a a 运算规律：交换律 a+b-b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+)=d+b+c 三角形法则可推广到多个向量相加 Ooo⊙O8
二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b b a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c a b c a + b b + c a + (b + c ) (a + b) + c a a a + b a + b
s=a+a2+43+a4+d5 as d s Oaoo⊙8
机动 目录 上页 下页 返回 结束 s a3 a4 a5 a2 a1 a1 a2 a3 a4 a5 s = + + + +
2.向量的减法 b-a-b+(-a) -a 6-d 特别当b=d时，有 b-a a-a=a+(-=d 三角不等式 atb s a+b a-b≤a+b OOo⊙o8
2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a
3.向量与数的乘法 入是一个数，入与d的乘积是一个新向量，记作九. 规定：1>0时，a与a同向，2d=人d； <0时，a与a反向，九d=-d; 元=0时，a=0. 总之 Aa n a 运算律：结合律2(ud)=u(d)=九ud 分配律 (2+)a=元a+ud (a+b)=a+1b 若a#0,则有单位向量a=日a因此a=ad Oao⊙®8
a a = 3. 向量与数的乘法 是一个数 , a . 规定 : 1a a ; = 可见 1a a ; − = − 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 ( a) ( a) = a = 分配律 (a b) + a b = + = 则有单位向量 a . 1 a a 因此 a = a a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.设为非零向量，则 a∥方一b=a(八为唯一实数) 证：“一”设a/6,取入=±石/a,d,6同向时 取正号，反向时取负号，则b与入同向，且 -哥8=网 故b=a. 再证数)的唯一性.设又有b=ua,则(2-w)a=0 而d≠0，故2-4=0，即九=4. Oao⊙⊙8
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ＝± 且 再证数 的唯一性 . 则 故 − = 0, 即 = . a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 a 同向, 设又有 b＝ a , ( − )a = 0 = = b 故 b = a. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一”已知=入d,则 当=0时，b=d 当1>0时，a,b同向 a∥b 当1<0时，a,b反向 例1.设M为□ABCD对角线的交点，AB=d,AD=b, 试用a与b表示MA,MB,MC,MD 解：a+b=AC=2MC=-2MA 6-a=BD=2MD=-2MB M :MA=-3(a+8)MB=-3(6-a) B MC=(a+b)MD=(b-a)
“ ” 则 例1. 设 M 为 M A B 解: D C ABCD 对角线的交点, b a AC = −2MA BD = −2MB 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 试用a 与b 表示 MA,MB,MC,MD. a + b = b − a = ( ) 2 1 MA = − a + b ( ) 2 1 MB = − b − a ( ) 2 1 MC = a + b ( ) 2 1 MD = b − a 机动 目录 上页 下页 返回 结束