第五节 第三章 函数的极值与 最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 O9o⊙o☒
二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三章
一、函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，x∈(a,b), 若存在x的一个邻域，在其中当x≠o时， (I)f(x)f(xo),则称x为f(x)的极划点， 称f(xo)为函数的极小值. 极大点与极小点统称为板值幕· Ooo⊙o8
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如(P146例4) y↑ f(x)=2x3-9x2+12x-3 2 x=1为极大点，f(I)=2是极大值 x=2为极小点，f(2)=1是极小值 2 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质， 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 V x1,x4为极大点 x2,x5为极小点 3不是极值点 0☑x1X23x4x5bX
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（极值第一判别法） 设函数f(x)在x的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)f'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)f'(x)“左右正”，则f(x)在x,取极小值； (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 oeo0
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停
例1.求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解)求导数C-+c-小 2)求极值可疑点 令f'(x)=0,得x1=；令f'(x)=0,得x2=0 3)列表判别 (-0,0) 0,) 25 (层，+0) f'(x) 十 00 0 f(x) 0 -0.33 ∴.x=0是极大点其极大值为f(0)=0 x=号是极小点其极小值为f()=-0.33 Q9的oo⑧
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) = , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（极值第二判别法） 设函数f(x)在点xo处具有 二阶导数，且f'(x)=0,f"(x)≠0 (I)若f"(x)0,则f(x)在点xo取极小值 证：(0）f"o)=1im)-f'l=1imf x→x0 x-X0 x→x0X-X0 由f”(x)0，当00; 十 当x<x<x+6时，f'(x)<0, x08x0x+6 由第一判别法知f(x)在xo取极大值 (2)类似可证 oooo08
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解：1)求导数 f'(x)=6x(x2-1)2,f"(x)=6(x2-105x2-1) 2)求驻点 令f'(x)=0,得驻点x=-1,2=0,3=1 3)判别 因f"(0)=6>0,故f(0)=0为极小值； 又∫”(-1)="(1)=0，故需用第一判别法判别 由于f'(x)在x=±1左右邻域内不变号， .f(x)在x=±1没有极值」 OaoO⊙8
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x = x x − ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − 2) 求驻点 令 f (x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f (0) = 6 0, 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0, 故需用第一判别法判别. 1 x y −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3（判别法的推广）若函数f(x)在xo点有直到n阶导 数，且f'(0)="(x)=.=fn-少(xo)=0,fm(x)≠0， 则：1)当n为偶数时，x,为极值点，且 fm)()>0时，x是极小点； fm)(xo)<0时，x,是极大点 2)当n为奇数时，x,不是极值点 证：利用f(x)在x。点的泰勒公式，可得 fx)-f()=-+o(-") n! 当x充分接近x时，上式左端正负号由右端第一项确定， 故结论正确 eo0 n年h
定理3 (判别法的推广) ( ) 0, 0 ( ) f x n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ++ n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − (( ) ) 0 n + o x − x − + 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
例如，例2中f(x)=(x2-1)3+1 f"(x)=24x(5x2-3),f"(±1)≠0 所以x=±1不是极值点： 说明：极值的判别法（定理1~定理3）都是充分的 当这些充分条件不满足时，不等于极值不存在 例如： f(x)= 「2-x2(2+sin),x≠0 .999 1.998 1.997 2 x=0 1.996 1.995 f(0)=2为极大值，但不满足定理1 1.994 1.993 ~定理3的条件
例如 , 例2中 ( ) 24 (5 3), 2 f x = x x − f (1) 0 所以 不是极值点 . 说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件. x y −1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间可[a,b]上连续，则其最值只能 在极值点或端点处达到. 求函数最值的方法： (1)求∫（在（内的极值可疑点 X1,X2,·,尤m (2)最大值 M=max{f(x),f(x2),.,f(xm),f(a),f(b)} 最小值 m=min{f(x),f(x2)）,.,f(xm),f(a),f(b)} Ooo⊙o8
二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束