第一章 第七节 无穷小的比教 引例.x→0时，3x,x2,sinx都是无穷小，但 lim =0, li sinx 1 x-→03x x→03x 3 sinx lim 三00， 2 x-→0x 可见无穷小趋于0的速度是多样的
第一章 x → 0时, 3x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较
定义.设，B是自变量同一变化过程中的无穷小 若lim =0,则称B是比a高阶的无穷小，记作 B=o(a) 若lim B =∞，则称B是比a低阶的无穷小 若in C≠0，则称B是α的同阶无穷小 若lim B =C≠0，则称B是关于α的k阶无穷小 若lim =1,则称B是a的等价无穷小，记作《~B 或B~ Qoo⊙⊙8
lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinx~x; tanxx arcsinx~x 又如 lim -cosx 2sin2 1 x2 =lim x→0 x-→0 4(5) 2 故x→0时1-c0sx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosx2 OQo⊙⊙☒
例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明：当x→0时，1+-1心二x 证： lim +-1 x→0 a”-b”=(a-b)(a"-1+an-2b+.+bn-l) (/1+x”-1 lim x-→0 x[(1+xy-1+(1+x)”2+.+1] =1 当x→0时，1+x-1心1 n OOo⊙⊙8
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.a~B三B=0+o() 证：a~阝三lim =lm(E-1）=0,即limB“=0 .=B-=o(a),即B=+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x)
～ ～ 定理1. = + o() 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.设a~d,pg,且1im存在，则 B lim =lim 证： B lim lim B B'a B' lim lim B lim 例如， 2x lim tan 2x = li 2 x→0sin5x x→05x 5 OOo⊙⊙8 机无
定理2 . 设 且 存在 , 则 lim 证: lim = lim = lim lim lim = lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：设对同一变化过程，α，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则 ()和差取大规则：若B=o(),则a士B~ 例如， lim- sinx lim x =1 x-0x3+3xx-→03x3 2)和差代替规则：若a~,B~B且B与a不等价， 则a-B-ad'-B,且1im&-=lim& '-B' 但a~B时此结论未必成立 2x-x 例如， lim tan2x-sinx lim x0√1+x-1 x-→0 2x 2
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, 则 − ~ − , 例如, x x x x 3 sin lim 3 →0 + x x x 3 lim →0 = 3 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 ~ lim lim , − = − 且 但 ~ 时此结论未必成立. 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0 + − − → x x x x x x x x 2 1 0 2 lim − = → = 2
(3)因式代替规则：若~B,且p(x)极限存在或有 界，则 lim ao(x)=lim Bo(x) 例如， lim arcsinx.sin-=limx.sin=0 x→0 Xx→0 例1.求lim tanx-sinx x→0 3 解： 原式=lim tanx(1-cosx) x→0 原式关 x-x lim x>0 2 OOo⊙O8 机元
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) = lim (x) 例如, . tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x x − = → 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 2 1 0 lim x x x x = → 例1. 求 0 1 lim sin 1 limarcsin sin 0 0 = = → → x x x x x x 解: 原式
例2.求1mQ+x2)-】 x→0 cosx-1 解：当x→0时， 1+2)3-1~1x2 -x 3 1 cosx-1~ 2 2 ∴.原式=lim x→0 3 OO▣⊙⊙☒
例2. 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 1.无穷小的比较 设a,B对同一自变量的变化过程为无穷小，且≠0 0 B是α的高阶无穷小 00 B是α的低阶无穷小 lim B C(≠0)，B是α的同阶无穷小 1, B是α的等价无穷小 lim C≠0， B是α的k阶无穷小 OOo⊙08
内容小结 0 1. 无穷小的比较 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束