第二节 第二章 西数的求导法则 一、 四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 OAo⊙8
第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章
思路： f(x)=lim f(x+△x)-f(x) 构造性定义) △x>0 △x 本节内容 求导法则 (C)y=0 (sin x)'=cosx 证明中利用了 (hx)=1 两个重要极限 其它基本初等 X 函数求导公式 初等函数求导问题 ▣9o⊙o8
思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C ) = (sin x ) = (ln x ) = 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、四则运算求导法则 定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (I①)[u(x)±v(x)]=u'(x)±v'(x) (2)[u(x)v(x)'=u'(x)v(x)+u(xr)'(x) o[号-wr (v(x)≠0) v2(x) 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和 例题. Ooo⊙⊙8
一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x) 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(u±v)'=±v 证：设f(x)=u(x)士v(x),则 f(x)=lim f(x+h)-f(x) h>0 h lim [u(x+h)士v(x+h)]-[u(x)±v(x)] h-→0 h lim (x+h)-u(x) ±lim (x+h)-v(x) h-→0 h h-→0 h =u'(x)±v'(x) 故结论成立 此法侧可推广到任意有限项的情形.例如， 例如，(u+v-w)}'=1+v'-w
此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u v) = u v f (x) = u(x) v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + − → = u (x) v (x) 故结论成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如
(2)(uw)'=u'v+uv 证：设f(x)=u(x)v(x),则有 (x)im-()=lim-ux)v(x) h-→0 h h→0 h lim h-→0 x+的国x+)+x+》到 h =u'(x)v(x)+(x)v'(x) 故结论成立 推论：1)(Cu)'=Cu'(C为常数) 2)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw 3)(1og。xy'= Inx Ina xlna OOo⊙⊙8 机元
(2) (uv) = u v +uv 证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u (x)v(x) + u(x)v (x) 故结论成立. + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x + h) − + h v(x) u(x) v(x + h) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu u vw+ uv w+ uvw 3) (loga x ) = a x ln ln x ln a 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例1.y=Vx(x3-4cosx-sinl),求y'及yx1 解：y'=(x)y(x3-4cosx-sinl) +√x(x3-4cosx-sinl) (4cosx-sin1)+Jx(3x+4sinx 1 y x=1 (1-4cos1-sin1)+(3+4sin1) 7 7 sin1-2cos1 2 Oao⊙⊙8
例1. 解: + 4sin x (1 2 1 − sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − y = ( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) u'v-uv 证：设)-得，则有 u(x+h) (x) f'(x)=lim+月）-f0-linm v(x+h) v(x) h-→0 h h-→0 h 4x+D-)vx)-M)x+月- lim h h h-→0 v(x+h)v(x) u(x)v(x)-u(x)v(x) v2(x) 故结论成立 推论： (C)=-cv (C为常数 Ooo⊙⑨8
+ = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h u(x)v(x) (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x = 推论: ( ) 2 v Cv v C − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例2.求证(tanx)=sec2x,(cscx)/=-cscxcotx. 证：((tanx)'= Sinx = (sinx)'cosx-sinx(cosx) cosx cos2 x cos2x+sinx=sec2x COsx n) sin2x sin2x =-cscxcotx 类似可证：(cotx)'=-csc2x,(secx)}=secxtanx
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证: = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cosx 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f-(y)的反函数，f(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]'≠0 f-i 或 f] d x d x d v 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 △y=f(0x+A)-f()≠0， y-1 △x △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 "'(x)=lim AY lim △x-→0△X △y→0 △y [f(y)]' Ooo⊙⊙8 机
f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, = x y y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求反三角函数及指数函数的导数. 解：I)设y=arcsinx,则x=siny,y∈(- 2’2 ∴.Cosy>0,则 (arcsinx)= (sin y)' 'cosy 1-sin2y 1-2 利用 π (arccosx)'=- arccosx= arcsinx /1-x2 2 类似可求得 (arctanx)'= 1+r2, (arccotx)'=- 1+x2 Q9oo⑧
例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 , 2 ( y − (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 arccos = − 利用 cos y 0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束