第九为 第一章 连续虽数的运算与 初等数的连续性 一、 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 OOo⊙08 机无
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如，sinx,cosx连续 >tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减） (证明略) 例如，y=sinx在[-号，]上连续单调递增 其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增 Oao⊙o8
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如，y=ex在(-o,+oo)上连续单调递增， 其反函数y=nx在(0，+o)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的 证：设函数u=(x)在点xo连续，且(xo)=40 函数y=f(x)在点uo连续，即limf(u)=f(uo). 于是 Iimf[(x)]=limf(w）=f(uo)=f[p(xo)】 x→x0 2u→u0 故复合函数∫[(x)】在点xo连续. OOo⊙⊙8
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 ( ) . 0 u0 x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，y=sin是由连续函数链 y=Sinu,l∈(-oo,+oo) l=- r∈R* 复合而成，因此y=sin二在xeR上连续 1 y=sIn- Oao⊙⊙8
例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)与g(x)均在[a,b]上连续，证明函数 e(x)=maxf(x),g(x) w(x)=min{f(x),g(x) 也在[a,b]上连续 证：p(x)=2[f(x)-g(x)+f(x)+g(x)] w(x)=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x) 根据连续函数运算法则，可知p(x),W(x)也在[a,b]上 连续 OOo⊙08
例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: f (x) − g(x) − f (x) − g(x) 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=√1-x2的连续区间为[-1,1]（端点为单侧连续） y=Insinx的连续区间为(2nπ，(2n+1)π)，n∈Z 而y=cosx-1的定义域为x=2nπ，n∈Z 因此它无连续点
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 y = cos x −1 的定义域为 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求1im loga(1+x) x→0 X 解：原式=lim log.1+x=log。e= 1 x0 "-1 例3.求1im x→0 解：令t=a-1,则x=loga(1+t), 原式=lim, =Ina i0 loga(1+t) 说明：当a=e,x→0时，有 ln1+x)≈x ex-1~x OOo⊙⊙8 机无
例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 = −1, x t a 则 x log (1 t), = a + 原式 log (1 ) lim 0 t t a t + = → 说明: 当 时, 有 ln(1+ x) ~ −1 ~ x x e x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 3 求 lim(1+2x)sinx x→0 解： 原式=ime品：n1+2 x→0 3.2x limex =eo x→0 说明：若limu(x)=0,Iimv(x)=o,则有 x→x0 x→x0 lim1x)) lim v(x)In[1+u(x)] lim v(x)u(x) ≥e→0 Qao⊙@8
例4. 求 解: 原式 ln(1 2 ) sin 3 x x + x 3 说明: 若 lim ( ) 0, 0 = → u x x x 则有 + = → ( ) lim 1 ( ) 0 v x x x u x lim ( ) , 0 = → v x x x e = e lim ( ) ( ) 0 v x u x x→x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x
x≤1 讨论复合函数f[p(x)】的连续性 解： x≤1 f[p(x)]= 2-o(x),o(x)>1-2-x,x>1 x≠1时f[p(x)】为初等函数，故此时连续，而 lim f[o(x)]=lim x2=1 x→1 x-→1 lim f[o(x)]=lim (-2-x)=-3 x→1 x→1+ 故f[p(x)]在点x=1不连续，x=1为第一类间断点 oo⊙o& 机无
+ = 4, 1 , 1 ( ) x x x x 例5. 设 x 解: 讨论复合函数 的连续性 . = , 1 2 x x − 2 − x , x 1 故此时连续; 而 lim [ ( )] 1 f x x → − 2 1 lim x x→ − = =1 lim [ ( )] 1 f x x → + lim ( 2 ) 1 x x = − − → + = −3 故 x = 1为第一类间断点 . ( ), ( ) 1 2 x x 2 −(x), (x) 1 x 1时 f [(x)]为初等函数, 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性 Qao⊙@8
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束