第四章 不定积分 微分法：F(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？=f(x)
第四章 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 不定积分
第一为 第四章 不定积分的桡念与性质 一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 OOo⊙08 机
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章
一、 原函数与不定积分的概念 引例：一个质量为m的质点，在变力F=Asint的作 下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t) 根据牛顿第二定律，加速度 a0=F-4sint mm 因此问题转化为：已知0)=4snt,求0=？ m 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F()为f(x) 在区间1上的一个原函数 如3引1例中，Asint的原函数有-Acos,-Acost+-3, m ooO☒
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数. (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 OOo⊙⊙8 机无
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证：1).(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) ∴.F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) ∴.[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C(Co为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+C,属于函数族F(x)+C gao⊙回⑧
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫一 积分号；f(x)一被积函数； (P183) x一； 积分变量；f(x)dx一被积表达式 若F'(x)=f(x),则 ∫f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 例如， 「e'dx=ex+C C称为积分常数 ∫x2dx=x3+C sin xdx=-cosx+C OO▣⊙⊙8
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P183) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
不定积分的几何意义： (x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 ∫f(x)dx的图形 一f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族 Xo 无 Oaoo®8
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线
例1.设曲线通过点(1,2)且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解： .y=2x .y=∫2xdr=x2+C y 所求曲线过点(1,2)，故有 (1,2) 2=12+C .C=1 x 因此所求曲线为y=x2+1 Ooo①C①8 机元
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)
例2.质点在距地面xo处以初速vo垂直上抛，不计阻 力，求它的运动规律 解：取质点运动轨迹为坐标轴，原点在地面，指向朝上， 质点抛出时刻为t=0,此时质点位置为xo,初速为'o: 设时刻t质点所在位置为x=x(t),则 dx =v(t) (运动速度) dt x=x(t) 再由此求x(t) d2 x dv dt =-g (加速度) X0=x(0) 先由此求v(t)
o x 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0 x = x x = x(t) 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 ( ) d d v t t x = (运动速度) t v t x d d d d 2 2 = = −g (加速度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)
先求0.由dv=-g,知 dt v(t)=J(-g)dt=-gt+C x=x(t) 由v(0)=o,得C1=vo,故 x0=x(0) v(t)=-gt+vo 肠 再求 dx x0）=∫(-gt+odt=-gr2+w1+C2 由x(0)=0,得C2=x0,于是所求运动规律为 x(t)=-2g1+vol+xo OOo⊙⊙8
先求 由 知 v(t) = ( − g)dt C1 = −gt + (0) , 0 由v = v , 1 0 得C = v 0 v(t) = −gt + v 再求 x(t) ( t v )dt = − + 0 g 0 2 2 2 1 = − gt + v t +C (0) , 0 由x = x , 2 0 得C = x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) = − gt + v t + x 由 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 o x (0) 0 x = x x = x(t)