第三节 第四章 分部积分法 由导数公式 (uv)'=u'v+uv' 积分得： w=∫ndr+juv'd 分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)∫uvdr比∫uv'dr容易计算 oooo☒
第三节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章
例1.求xcosxdx. 解：令u=x,v'=C0Sx, 则l=l,v=sinx ∴.原式=xsinx-「sinxdx =xsinx+Cosx+C 思考：如何求∫x2 sinx dx? 提示：令u=x2,y'=sinx,则 原式=-x2cosx+2xc0sxdr Ooo⊙o8
例1. 求 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求∫xInxdx。 解：令u=lnx,v'=x 则 w=1 =x2 原式= 2nx-xd -3m-x+C Qao⊙o8
例2. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求∫xarctanxdx. 解：令u=arctanx,v'=x 则 1+r2,-r 原式=x2 arctanx- dx 12 X 2 arctanx- 1+r2d4 1 xarctanx-(x-arctanx)+C 2 Ooo⊙®8
例3. 求 x arctan x dx. 解: 令 u = arctan x, v = x 则 , 1 1 2 x u + = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求ex sinx dx. 解：令u=sinx,v'=e,则 u'=cosx,v=ex .原式=e*sinx-∫e'cos x dx 再令u=cosx,v'=e',则 u'=-sinx,v=ex =e*sinx-e*cosx-[e*sin x dx 故原式=}e*(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=e",v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致. ololotolol8
例4. 求 e sin x dx. x 解: 令 u = sin x, x v = e , 则 u = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v = e , 则 u = −sin x, x v = e e x x = sin − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解题技巧：选取u及v的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按 “反对幂指三” 顺序，前者为u后者为v'. 的 反：反三角函数 对：对数函数 例5.求arccosx dx. 幂：幂函数 解：令u=arccosx,v'=l,则 指：指数函数 三：三角函数 =京， V=x 原式=xarecosx+∫dr xarccos x-1[(1-x2)d(1-x2) =xarccos x-v1-x2+C Ooo⊙o8
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v . 例5. 求 解: 令 u = arccos x, v =1 , 则 , 2 1 1 x u − = − v = x 原式 = x arccos x − + x x x d 2 1 = x arccos x (1 ) d(1 ) 2 2 2 1 2 1 − − − − x x = x arccos x− − x +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
Incosx dx. 例6.求 cos-x 解：令u=Incosx,v'= 1 ,则 cos-x u'=-tanx,v=tanx 原式=tanx,Incosx+∫tan2xdx =tanx.Incosx+(sec2x-1)dx tanx.Incosx +tanx-x+C oao⊙®8
例6. 求 解: 令 u = lncos x, x v 2 cos 1 = , 则 u = −tan x, v = tan x 原式 = tan x lncos x + tan x dx 2 = tan x lncos x + (sec x −1) dx 2 = tan x lncos x + tan x − x +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.求edr. 解：令X=t,则x=t2,dx=2tdt 原式=2∫te'dt |令u=t,y=e =2(te'-e')+C =2evx(Vx-1)+C Oooo⊙o8
例7. 求 解: 令 x = t, 则 , 2 x = t dx = 2t d t 原式 t e t t 2 d = t = 2(t e e x C x = 2 ( −1) + u = t , t v = e ) t − e +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令
例8.求Vx2+a2de(a>0). 解令4=+a,v=l,则=ov= ∫+a2dk=x+a2-∫iadr =xv2+a2-∫rdr =x2+-小2+a2d+a2∫ 原赋武-+0+gn(++)+C gooo⑧
例8. 求 解: 令 , 2 2 u = x + a v =1, 则 , 2 2 x a x u + = v = x 2 2 x x + a + − x x a x d 2 2 2 2 2 = x x + a + + − − x x a x a a d 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 = x x + a − x + a dx 2 2 + + 2 2 2 d x a x a ∴ 原式 = 2 2 2 1 x x + a x x a C a + ln( + + ) + 2 2 2 2 + = x a dx 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx 刷9.求.=+ 、 -2nx 解令"+a-l,则 (x2+a2)+1,v=x 2可 2 (atay-dx (a+2nn-2nd2I X 得递推公式1+1= X 2n-1 2na2 (x2+a2y" 2na OOo⊙⑨8 机
例9. 求 解: 令 , ( ) 1 2 2 n x a u + = v =1, 则 , ( ) 2 2 2 +1 + − = n x a nx u v = x n I x x a x n n d ( ) 2 2 2 1 2 + + + n x a x ( ) 2 2 + = x x a n n d ( ) 2 2 2 +1 + + n x a x ( ) 2 2 + = n + 2n I 1 2 − 2 n+ na I 得递推公式 n n n I na n x a x na I 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 − + + + = 2 2 2 (x + a ) − a n x a x ( ) 2 2 + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束