第之章 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 导数与微分 极值问题中提出 微积分学的创始人： 英国数学家Newton 德国数学家Leibniz 导数 描述函数变化快慢 微分学 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数）
第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton
第一为 第二章 导教的烧念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 OoOo⊙8
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章
一、引例 ⊙ 1.变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 s=f(t) 则t,到t的平均速度为 f(t)-f(to) 自由落体运动 V= t-t0 g72 而在t,时刻的瞬时速度为 f() 10 f(t)-f(to） 0 S y=lim t→to t-to
一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0 t 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 2 2 1 s = gt s o ( )0 f t f (t) t 自由落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.曲线的切线斜率 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 y=f(x) 割线MN的极限位置MT C (当p→0时) 切线MT的斜率 k=tana=lim tan p→0 f(x)-f(xo) 割线MN的斜率tanp= x-X0 =lim f(x)-f(xo) x→x0 X-X0 OOo⊙⊙8 机元
x y o y = f (x) C 2. 曲线的切线斜率 曲线 N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率 lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(t)】 瞬时速度 v=lim f(t)-f(to) t→0 t-to y=f(x) 切线斜率k=lim f(x)-f(xo) x→x0 x-x0 C M 两个问题的共性： 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有： 加速度是速度增量与时间增量之比的极限 角速度是转角增量与时间增量之比的极限 变化率 线密度是质量增量与长度增量之比的极限 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限 9oooo⑧
两个问题的共性: s o 0 t ( )0 f t f (t) 瞬时速度 t 切线斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数的定义 定义1.设函数y=f(x)在点x,的某邻域内有定义 若 lim)-fxo）= lim△y △y=f(x)-f(x) x→x0 x-x0 △x→0△X △X=X-X0 存在，则称函数f(x)在点x,处可导，并称此极限为 y=f(x)在点x,的导数.记作 dy yx=0;f'(x0)； df(x) dx x=xo dx X=X0 即 △y yx=o=f'(x)=lim △x→0△X =lim f(x,+△x)-f(xo) lim f(xo+h)-f(xo) △x→0 △x h→0 Ooo⊙⑨8
二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x = →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y = ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y = ( ) 0 = f x x y x = →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
运动质点的位置函数s=f(t) f() 在t,时该刻的瞬时速度 v lim f0-f】=fo) t→to 1-1o 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 lim f(x)-f(xo) y=f(x) x→x0 x-Xo =f'(x0) 说明：在经济学中，边际成本率 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. Qa⊙⑧
运动质点的位置函数 s = f (t) s o 0 t ( )0 f t f (t) 在 时刻的瞬时速度 t 0 t 曲线 C : y = f (x) 在 M 点处的切线斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x ( ) 0 = f t ( ) 0 = f x 说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
lim f()-fxo）=1im △y=f(x)-f(x) x→x0 x-xo △x->0△X △X=X-X 若上述极限不存在，就说函数在点x不可导 若1imA少=o,也称f()在o的导数为无穷大 △x-→0△X 若函数在开区间1内每点都可导，就称函数在I内可导 此时导数值构成的新函数称为导函数， 记作：y'；f'(x)； dy.df(x) dx dx 注意：∫'(x)=f'(x)x=0≠ df(xo) dx Ooo⊙⑨8
( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x 若 lim , 0 = → x y x 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( )0 f x 0 ( ) x x f x = = x f x d d ( ) 0 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解：y'=1imfx+△)-/()-1im -C =0 △x→0 △x △x-→0△X 即 (C)'=0 例2.求函数f(x)=x”(n∈N+)在x=a处的导数， 解：f'(aw）=limf(x)-f(a=lim ”-a” x→a x-a x→ax-a lim(x"-+ax"-2+a2x"-3+.+a"-) x→a =nan-1
例1. 求函数 (C 为常数) 的导数. 解: y 即 例2. 求函数 解: x a f x f a − ( ) − ( ) x→a = lim x a x a n n x a − − = → lim lim( x→a = n−1 x −2 + n a x 2 −3 + n a x + ) −1 + n a x f x x f x ( + ) − ( ) 0 lim → = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： 对一般幂函数y=x“(4为常数) (x“)y=x (以后将证明) 如，y=y-=2 ()=xy=-x1-1- x2 3 OO▣⊙⊙8 机元
说明： 对一般幂函数 y = x ( 为常数) 1 ( ) − = x x 例如， ( x ) ( ) 2 1 = x 2 1 2 1 − = x 2 x 1 = ( ) x 1 ( ) 1 = − x −1−1 = −x 2 1 x − = ) 1 ( x x ( ) 4 3 = − x 4 7 4 −3 − = x （以后将证明） 机动 目录 上页 下页 返回 结束