第三章 微分中值定理 与导数的应用 罗尔中值定理 中值定理 〈拉格朗日中值定理 推扩 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第一节 第三章 中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 OO▣⊙⊙8 机
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理 费马(fermat)引理 y=f(x)在U(xo)有定义， >f'(x)=0 且f(x)≤f(xo),f'(xo)存在 (或≥) 证：设Vxo+△x∈U(xo),f(xo+△x)≤f(xo), f(xo)=lim f(xo+Ar)-f(xo) Xo X Λx→0 △x 「f'(xo)≥0（△x→0） >f'(x)=0 f(xo)≤0（△x→0+） 证毕 Oao⊙@8
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
罗尔(Role)定理 y y=f(x) y=f(x)满足 (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 b x (3)f(a)=f(b) 心在(a,b)内至少存在一点5，使f'()=0. 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'(5)=0. OOo⊙⊙8 机无
罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f () = 0. x y o a b y = f (x) 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. 注意： 1)定理条件条件不全具备，结论不一定成立.例如， 0 f()=x f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1]
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f () = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1 x y −1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x->a x→b 在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0. f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a<x<b 、f(b), x=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 OO▣⊙⊙8
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 = → + lim f (x) x a lim f (x) x b → − 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明方程x3-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证：1)存在性 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0,1]连续，且 f(0)=1,f(①)=-3.由介值定理知存在x,∈(0,1)，使 f(x)=0,即方程有小于1的正根x. 2)唯一性. 假设另有：∈(0,1)，≠x,使f()=0,f(x)在以 x,为为端点的区间满足罗尔定理条件，在xo,x,之间 至少存在一点5，使∫'(5)=0. 但'(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1)，矛盾，故假设不真 Oao⊙o8
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 b x (2)在区间(a,b)内可导 少存在-点5c(a,b),使f5)=b)-f四 证：问题转化为证f(⑤)-f)-f四=0 b-a b-a 作辅助函数 D(x)=f(x)-I(b)-f(@) b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a-bf(a)-a/b=pb),由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(@，b),使p'(5)=0,即定理结论成立.证毕 Ooo⊙o8
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . =(b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x,b=x0+△x,则 △y=f'(x+0△x)△x(0<0<1) 5 推论：若函数f(x)在区间I上满足f'(x)=0,则f(x) 在I上必为常数， 证：在1上任取两点：，x2(:1<x2),在[x1,x2]上用拉 日中值公式，得 f(x2)-f(6)=f'(5)(x2-)=0(<5<x2) .f(x2)=f(1) 由1，x2的任意性知，f(x)在I上为常数
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 = 0 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y = f x0 + x x 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明等式arcsinx+arccosx= xe-1,小 证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-l,1)上 1 f')=1-2 三0 1-x2 由推论可知f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数) 令x=0,得C= 2 又故所证等式在定义域1，上成立 经验：欲证x∈I时f(x)=Co,只需证在I上f'(x)=0, 且3x∈I,使f(x)=C0: 司证：arctanx+acot)xe-o,+0 Oao⊙o8
例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: , x(−, + ) 2 arctan arccot x + x = 经验: 欲证 xI 时 ( ) , C0 f x = 只需证在 I 上 f (x) 0, , 0 且 x I ( ) . 0 C0 使 f x = 机动 目录 上页 下页 返回 结束