第、为 第一章 涵数的连续性与间断点 一、 函数连续性的定义 二、函数的间断点 OO▣⊙⊙8 机无
二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章
一、 函数连续性的定义 定义：设函数y=f(x)在xo的某邻域内有定义，且 1imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x,连续 x→x0 可见，函数∫(x)在点xo连续必须具备下列条件 (I)f(x)在点xo有定义，即f(xo)存在； (2)极限1imf(x)存在； x〉X0 (3) lim f(x)=f(xo). OaO⊙o☒
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b], 例如，P(x)=a0+a1x+.+anx” (有理整函数) 在(-00，+o0)上连续 又如，有理分式函数R()= P(x) e(x) 在其定义域内连续 只要Q(xo)≠0，都有1imR(x)=R(xo) x→x0 OOo⊙08
( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对自变量的增量△x=x-x0,有函数的增量 △y=f(x)-f(x)=f(xo+△x)-f(xo) 函数f(x)在点xo连续有下列等价命题 lim f(x)=f(xo)lim f(xo+Ax)=f(xo) x→x0 lim△y=0 yy=f(x) △x→0 I△1 f(xo)=f(xo)=f(xo") △ 左连续 右连续 0 ε>0,6>0，当x-x=△x<6时，有 f(x)-f(x)=△y<8
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明函数y=sinx在(-oo,+oo)内连续 证：x∈(-o0,+0) △y=sin(x+△x)-sinx=2 sincos(x+A) Ay=2 sin cos(x+) ≤2-1=AxAx→00 即 lim△y=0 △)0 这说明y=sinx在(-o,+oo)内连续 同样可证：函数y=c0sx在(-0，+0)内连续 o0o0 机元
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 函数的间断点 设f(x)在点x,的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一函数f(x)在点x,不连续 (1)函数f(x)在x无定义； (2)函数f(x)在x,虽有定义，但imf(x)不存在， (3)函数f(x)在x,虽有定义，且imf(x)存在，但 x→xo limf(x)≠f(xo) X→X0 这样的点x,称为间断点」
在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
间断点分类： 第一类间断点： f(x)及f(x,)均存在， 若f(x)=f(x,),称x为可去间断点. 若f(x)≠f(x,),称x,为跳跃间断点. 第二类间断点： f(x,)及f(x,)中至少一个不存在 若其中有一个为0，称x,为无穷间断点 若其中有一个为振荡，称x,为振荡间断点 OOo⊙@8
间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 0 x 若其中有一个为振荡 , 称 0 x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如： y=tanx (①) y=tanx x= 为其无穷间断点 (2) y=sin X x=0为其振荡间断点. x2-1 (3)y= x-1 x=1为可去间断点 Qao⊙@8
2 x = 为其无穷间断点 . x = 0 为其振荡间断点 . x =1为可去间断点 . o x y 1 例如: y = tan x 2 x y o x y x y 1 = sin 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x,x≠1 (4)y=f(x)= x=1 1 显然 lmf(x)=1≠f(I) x>1 x=1为其可去间断点 x-1,x0 f(0)=-1, f(0)=1 x=0为其跳跃间断点 OOo⊙⊙8
1 lim ( ) 1 (1) 1 f x f x = → 显然 x =1 为其可去间断点 . = = = , 1 , 1 ( ) 2 1 x x x (4) y f x o x y 2 1 1 (5) + = − = = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x y f x x y o 1 −1 (0 ) = −1, − f (0 ) =1 + f x = 0 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 1.f(x)在点x,连续的等价形式 lim f(x)=f(xo) lim[f(xo+△x)-f(xo)】=0 x→x0 Λx→0 =f(x0)=f(xo)=f(x0) 左连续 右连续 2.f(x)在点xo间断的类型 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 无穷间断点) 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点」 个不存在 ▣9ooo☒
内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束